O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
r(t)=2,4 t i+(3,0-1,2 t^2) j
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vetorial. A questão nos dá a posição de um objeto em um plano, representada pelo vetor posição r(t), e pede para encontrar a expressão da velocidade em função do tempo. Para isso, vamos usar o conceito de que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor posição:
r(t) = 2,4, t, i + (3,0 - 1,2, t^2), j
Aqui, a componente na direção $ \hat{i} $ (eixo x) é $ 2,4, t $ e na direção $ \hat{j} $ (eixo y) é $ 3,0 - 1,2, t^{2} $.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade, vamos derivar cada componente da posição em relação ao tempo $ t $. A velocidade $ \vec{v}(t) $ é dada por:
t
Vamos calcular cada derivada separadamente.

Passo 4

Derivando a componente na direção $ \hat{i} $:
i
Então, a componente de velocidade na direção $ \hat{i} $ é constante e igual a $ 2,4, \hat{i} $.

Passo 5

Derivando a componente na direção $ \hat{j} $:
j
Então, a componente de velocidade na direção $ \hat{j} $ é $ -2,4, t, \hat{j} $.

Resposta

A expressão geral da velocidade em função do tempo é:
v(t) = 2,4, i - 2,4, t, j

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