2.5-2 Um tubo de alumínio tem um comprimento de 60 m a uma temperatura de 10^circ C. Um tubo de aço adjacente à mesma temperatura é 5 mm mais longo que o tubo de alumínio.
A que temperatura (graus Celsius) o tubo de alumínio será 15 mm mais longo que o tubo de aço? (Assuma que os coeficientes de expansão térmica do alumínio e do aço sejam alphaa=23 times 10^-6 / ^circ C e alphas=12 times 10^-6 / ^circ C, respectivamente.)

Passo 1

O enunciado trata de dilatação térmica linear: temos um tubo de alumínio de comprimento inicial La0=60 m e um tubo de aço adjacente à mesma temperatura inicial T0=10^circC. Nesse ponto o aço é 5 mm mais longo que o alumínio. Queremos achar a temperatura T em que o alumínio passe a ser 15 mm mais longo que o aço. Vamos usar a fórmula da dilatação linear
De<a L = L0,alpha,De<a T
onde alpha é o coeficiente de dilatação e De<a T=T-T0.

Passo 2

Convertendo as diferenças para metros:
5 mm=0,005 m, 15 mm=0,015 m
O comprimento inicial do aço é
Ls0 = La0 + 0,005 = 60 + 0,005 = 60,005 m
Após variação de temperatura De<a T, os comprimentos serão
La = La0l(1 + alphaa,De<a Tr), Ls = Ls0l(1 + alphas,De<a Tr)
com alphaa=23times10^-6/^circC e alphas=12times10^-6/^circC.

Passo 3

Impondo que o alumínio fique 0,015 m mais longo que o aço:
La - Ls = 0,015
Substituindo as expressões de La e Ls:
La0(1 + alphaaDe<a T);-;Ls0(1 + alphasDe<a T) =0,015
Expandindo,
La0-Ls0 + l(La0alphaa-Ls0alphasr)De<a T = 0,015

Passo 4

Substituindo La0=60, Ls0=60,005, alphaa=23times10^-6 e alphas=12times10^-6:
60-60,005 + l(60cdot23times10^-6 - 60,005cdot12times10^-6r)De<a T = 0,015
Isto é
-0,005 + l(1,38times10^-3 - 0,72006times10^-3r)De<a T = 0,015,
-0,005 + 0,00065994,De<a T = 0,015 Longrightarrow 0,00065994,De<a T = 0,020 Longrightarrow De<a T approx 30,3^circC

Passo 5

A temperatura final é
T = T0 + De<a T = 10 + 30,3 approx 40,3^circC

Resposta

40,3^circC

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