Um tubo circular transporta 5,43 \mathrm{in}^{3} / \min a 200^{\circ} \mathrm{F} de água. A perda de pressão em 35 ft de comprimento é igual a 7,27 \times 10^{-3} \mathrm{ft} de Hg . Qual o raio interno do tubo?

Passo 1

O enunciado pede o raio interno do tubo, e nos dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para não nos perdermos):
\text{Vazão volumétrica: } Q = 5,43\\ \mathrm{in}^3/\minãé
\text{Temperatura da água: } 200^\circ\mathrm{F}á
\text{Comprimento do tubo: } L = 35\\ \mathrm{ft}
\text{Perda de pressão (head) ao longo do comprimento: } h_{Hg} = 7{,}27\times 10^{-3}\\ \mathrm{ft\\ of\\ Hg}ã
O que queremos: o raio interno do tubo r. Não vou resolver nada ainda — só deixei claro o que está dado e o que é pedido.

Passo 2

Plano geral (não é a resolução completa ainda, só o que vamos usar): para fluxo em tubos usamos a equação de Darcy–Weisbach que relaciona perda de carga (head) h com velocidade média V, comprimento L, diâmetro D e fator de atrito f:
h = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Aqui g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}), D é o diâmetro interno do tubo e V é a velocidade média do fluido. A velocidade se obtém pela vazão e a área:
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}.
Para tubos com escoamento laminar (Reynolds pequeno) vale f=64/\mathrm{Re} e \mathrm{Re}=VD/\nu, em que \nu é a viscosidade cinemática da água. Substitindo f e \mathrm{Re} aparece uma expressão direta em que D^4 é proporcional a Q. Vamos aplicar isso; antes, fazemos as conversões e escolhemos valores físicos.

Passo 3

Conversões e valores físicos (vou trabalhar em unidades SI para as fórmulas hidráulicas; converto os dados):
Q = 5{,}43\\ \mathrm{in}^3/\min.
Como 1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{in}^3=(0{,}0254)^3\\ \mathrm{m}^3, temos
Q = 5{,}43\cdot(0{,}0254)^3\\ \mathrm{m}^3/\min = 5{,}43\cdot 1{,}6387\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\min = 8{,}901\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\min.
Dividindo por 60 para ficar em \mathrm{s}:
Q = \frac{8{,}901\times 10^{-5}}{60} = 1{,}4835\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Agora a perda de pressão foi dada em pés de mercúrio: h_{Hg}=7{,}27\times 10^{-3}\\ \mathrm{ft\\ of\\ Hg}. Converto para metros:
1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad h_{Hg} = 7{,}27\times 10^{-3}\cdot 0{,}3048 = 2{,}2179\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Esse h_{Hg} é altura de mercúrio; a perda de carga em termos de cabeça de água h (a que aparece na Darcy) é dada por igualdade de pressão:
\rho_{Hg}\,g\,h_{Hg}=\rho_w\,g\,h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\rho_{Hg}}{\rho_w}\,h_{Hg}.
Vou usar densidade do mercúrio \rho_{Hg}=13546\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão) e densidade da água a 200^\circ\mathrm{F} aproximada como \rho_w=965\\ \mathrm{kg/m^3} (diminui com a temperatura). Assim
h = \frac{13546}{965}\cdot 2{,}2179\times 10^{-3} = 14{,}04\cdot 2{,}2179\times 10^{-3} = 3{,}114\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Portanto a perda de carga expressa em metros de água é h\approx 0{,}03114\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Escolha da viscosidade cinemática \nu da água a 200^\circ\mathrm{F} ( \approx 93{,}3^\circ\mathrm{C}). Valores tabelados dão \nu na faixa \approx 3{,}0\times 10^{-7} a 3{,}3\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}. Vou usar
\nu = 3{,}20\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}
(como valor típico a essa temperatura). Se você usar outro valor tabelado próximo, o resultado muda pouco. Também g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e L=35\\ \mathrm{ft}=10{,}668\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Derivação da fórmula prática para o caso laminar. Para escoamento laminar em tubo cilindro:
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}=\frac{64\nu}{VD}.
Substituindo f em Darcy:
h = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} = \frac{64\nu}{VD}\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g} = \frac{64\nu L V}{2g D^2} = \frac{32\nu L V}{g D^2}.
Mas V=\dfrac{4Q}{\pi D^2}. Substituindo:
h = \frac{32\nu L}{g D^2}\cdot\frac{4Q}{\pi D^2} = \frac{128 \nu L Q}{\pi g D^4}.
Rearranjando para D:
D^4 = \frac{128 \nu L Q}{\pi g h} \quad\Rightarrow\quad D = \left(\frac{128 \nu L Q}{\pi g h}\right)^{1/4}.

Passo 6

Agora substituo os números (tudo em SI):
\nu = 3{,}20\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},\quad L = 10{,}668\\ \mathrm{m},\quad Q = 1{,}4835\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s},
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\quad h=3{,}114\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Compute o numerador:
128\nu L Q = 128\cdot (3{,}20\times 10^{-7})\cdot 10{,}668\cdot (1{,}4835\times 10^{-6}) = 6{,}485\times 10^{-10}\\ \text{(aprox.)}.
Compute o denominador:
\pi g h = \pi\cdot 9{,}81\cdot 3{,}114\times 10^{-2} = 0{,}9599\\ \text{(aprox.)}.
Então
D^4 = \frac{6{,}485\times 10^{-10}}{0{,}9599} = 6{,}758\times 10^{-10}.
Tirando a quarta raiz:
D = (6{,}758\times 10^{-10})^{1/4} = 5{,}099\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0{,}005099\\ \mathrm{m}.
Logo o raio
r=\frac{D}{2}=2{,}5495\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}5495\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Converto o raio para unidades mais familiares (polegadas), lembrando 1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m}:
r = 2{,}5495\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = \frac{2{,}5495\times 10^{-3}}{0{,}0254}\\ \mathrm{in} = 0{,}1004\\ \mathrm{in}.
Verificação rápida da hipótese laminar: velocidade média
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}005099)^2}{4}=2{,}042\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
V=\frac{Q}{A}=\frac{1{,}4835\times 10^{-6}}{2{,}042\times 10^{-5}}=0{,}0727\\ \mathrm{m/s}.
Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}=\frac{0{,}0727\cdot 0{,}005099}{3{,}20\times 10^{-7}}=1{,}158,
na verdade \mathrm{Re}\approx 1{,}16\times 10^{3}, que é menor que 2300: o escoamento é laminar, então a escolha de f=64/\mathrm{Re} foi correta.

Resposta

r = 0{,}1004\\ \mathrm{in} = 2{,}55\\ \mathrm{mm}

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