Um tanque cilíndrico de água com 1,20 m de altura (h0) e 0,90 m de diâmetro ( D tanque ) cuja parte superior está aberta para a atmosfera inicialmente, está cheio com água. Agora a tampa de descarga próxima à parte inferior do tanque é retirada, e sai um jato de água cujo diâmetro é de 12 mm ( D jato ). Determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque caia para 0,60 m(h2) a partir da sua parte inferior.
RESPOSTA => t=13,6 min

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cilíndrico aberto de diâmetro Dtanque=0,90 m e altura inicial de água ,h0=1,20 m. Na base há um orifício de diâmetro Djato=0,012 m por onde sai o jato de água. Queremos o tempo t para o nível cair de h0 até h2=0,60 m. Vamos usar a equação de Torricelli (velocidade chorro v=raiz2gh) e a equação de volume para estabelecer uma equação diferencial.

Passo 2

Seja At a área da seção do tanque e Ao a área do orifício. O volume de água no tanque é V=At,h, de modo que
dVdt=At,dhdt
e a vazão é
Q = Ao,v = Aoraiz2gh
Como o nível decresce,
At,dhdt = -,Aoraiz2gh

Passo 3

Separamos variáveis e integramos de h0 a h2 no tempo de 0 a t:
integralh0^h2dhraizh = -,AoAtraiz2gintegral0^tdt Longrightarrow 2l(raizh2-raizh0r) = -,AoAtraiz2g,t
Isolando t e trocando sinal no parêntese, obtemos
t = 2,AtAoraiz2g, l(raizh0-raizh2r) = AtAoraiz2g, l(raizh0-raizh2r)

Passo 4

Calculamos as áreas:
At = pil(tfracDtanque2r)^2 = pi (0,45)^2 = 0,2025pi, Ao = pil(tfrac0,0122r)^2 = pi (0,006)^2 = 3,6times10^-5pi
Logo,
AtAo = 0,20253,6times10^-5 = 5625, raiz2g approx raiz29,81 approx 0,4515,
raizh0-raizh2 = raiz1,20-raiz0,60 approx 1,0954 - 0,7746 = 0,3208
Portanto,
t = 5625 times 0,4515 times 0,3208 approx 814,7 s approx 13,6 min

Resposta

t=13,6 min

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