Um tanque cilíndrico de água com
de altura
e
de diâmetro (
) cuja parte superior está aberta para a atmosfera inicialmente, está cheio com água. Agora a tampa de descarga próxima à parte inferior do tanque é retirada, e sai um jato de água cujo diâmetro é de 12 mm (
). Determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque caia para
a partir da sua parte inferior.
RESPOSTA
Passo 1
O enunciado descreve um tanque cilíndrico aberto de diâmetro
e altura inicial de água
. Na base há um orifício de diâmetro
por onde sai o jato de água. Queremos o tempo
para o nível cair de
até
. Vamos usar a equação de Torricelli (velocidade chorro
) e a equação de volume para estabelecer uma equação diferencial.
Passo 2
Seja
a área da seção do tanque e
a área do orifício. O volume de água no tanque é
, de modo que
e a vazão é
Como o nível decresce,
Passo 3
Separamos variáveis e integramos de
a
no tempo de
a
:
Isolando
e trocando sinal no parêntese, obtemos
Passo 4
Calculamos as áreas:
Logo,
Portanto,