Um trecho de um rio tem declividade de fundo Io igual a 2,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{m} e material de fundo constituído de partículas com \mathbf{d}_{\mathbf{2 5}}=0,30 \mathrm{~mm}, \mathbf{d}_{\mathbf{9 0}}=0,70 \mathrm{~mm}, fator de forma 0,5 e densidade relativa igual a 2,55 . Sabendo-se que nesse trecho o escoamento (suposto permanente e uniforme) ocorre com uma profundidade de água \mathbf{y}=1,6 \mathrm{~m} e uma largura da seção (aproximada como retangular) \mathbf{b}=35,0 \mathrm{~m}, pede-se determinar:
a) a tensão de cisalhamento atuante junto ao fundo ( \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2} ), a velocidade de atrito ( \mathrm{m} / \mathrm{s} ), o número de Reynolds de atrito (ou da partícula) e a correspondente classificação do regime de escoamento (em função de \mathbf{R e} *);
b) o fator de atrito de Darcy-Weisbach (considerando-se fundo plano e altura de rugosidade uniforme equivalente igual ao diâmetro médio do material, \mathbf{k}_{\mathbf{s}}=\mathbf{d}_{\mathbf{5 0}} ) e as correspondentes velocidade média ( \mathrm{m} / \mathrm{s} ) e vazão no canal ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} );
c) a configuração de fundo passível de ocorrer e o correspondente regime de escoamento, com base nos quatro critérios para previsão das configurações de fundo apresentados (indicar pontos nos gráficos);
\begin{aligned} & Q=\frac{A}{n} \cdot R_{H}^{2 / 3} \cdot l_{0}^{1 / 2} ; \quad V=\sqrt{\frac{8 g}{f}} \sqrt{R_{H} l_{0}} ; \quad C=\sqrt{\frac{8 g}{f}}=\frac{1}{n} R_{H}{ }^{1 / 6} ; \operatorname{Re}=\frac{V_{D_{H}}}{v} ; \quad F r=\frac{V}{\sqrt{g y}} ; \quad D_{H}=4 R_{H} \\ & \tau_{0}=\gamma R_{H} l_{0} ; \quad \operatorname{Re} \sqrt{f}=\frac{\sqrt{2 g D_{H}^{3} l_{0}}}{v} ; \quad R e_{*}=\frac{u_{*} \cdot d_{50}}{v} ; u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{\rho}} ; \quad f=\frac{1}{4}\left[\log \left(\frac{k_{S}}{3,71 D_{H}}+\frac{2,51}{R_{e} \sqrt{f}}\right)\right]^{-2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece um trecho retangular de rio com as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
  • declividade do fundo: \displaystyle I_0 = 2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m/m};
  • distribuição de sedimento: \displaystyle d_{25}=0{,}30\\ \mathrm{mm}, \displaystyle d_{90}=0{,}70\\ \mathrm{mm};
  • fator de forma (shape factor) = 0{,}5 (não será necessário para as contas principais pedidas, mas fica anotado);
  • densidade relativa do sedimento: \displaystyle s=2{,}55 (isto implica \displaystyle \rho_s = s\rho);
  • profundidade de escoamento: \displaystyle y=1{,}6\\ \mathrm{m};
  • largura retangular aproximada: \displaystyle b=35{,}0\\ \mathrm{m}.
Constantes físicas que usarei (valores usuais para água à temperatura ambiente):
  • massa volúmica da água: \displaystyle \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3};
  • peso específico da água: \displaystyle \gamma=\rho g = 1000\cdot9{,}81 = 9810\\ \mathrm{N/m^3};
  • aceleração da gravidade: \displaystyle g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2};
  • viscosidade cinemática aproximada: \displaystyle \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (valor padrão, se a prova pedir outro, substituir);
  • adotarei \displaystyle d_{50} (mediana) aproximada a partir de d_{25} e d_{90} como a média aritmética simples (quando não há d_{50} no enunciado isto é uma aproximação aceitável): \displaystyle d_{50}\approx\frac{d_{25}+d_{90}}{2}=\frac{0{,}30+0{,}70}{2}=0{,}50\\ \mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
a) determinar a tensão de cisalhamento junto ao fundo \tau_0 ( \mathrm{N/m^2}), a velocidade de atrito u_* ( \mathrm{m/s}), o número de Reynolds de atrito (ou da partícula) \operatorname{Re}_* e classificar o regime em função de \operatorname{Re}_*;
b) calcular o fator de atrito de Darcy–Weisbach f (considerando k_s=d_{50}), e então obter a velocidade média V ( \mathrm{m/s}) e a vazão Q ( \mathrm{m^3/s});
c) indicar a configuração do fundo passível de ocorrer e o correspondente regime de escoamento, usando os quatro critérios (vou calcular e apresentar os pontos que deveriam ser colocados nos gráficos desses critérios).
Observações que usarei: área molhada A=b y, perímetro molhado P=b+2y, raio hidráulico R_H=A/P, diâmetro hidráulico D_H=4R_H. A fórmula para tensão de fundo é \tau_0=\gamma R_H I_0. Velocidade de atrito u_*=\sqrt{\tau_0/\rho}. Número de Reynolds de partícula \operatorname{Re}_* = \dfrac{u_* d_{50}}{\nu}. Para o fator f usarei a forma implícita de Colebrook fornecida e a fórmula útil \operatorname{Re}\sqrt{f}=\dfrac{\sqrt{2 g D_H^3 I_0}}{\nu} para facilitar os cálculos sem iterações pesadas. Também calcularei a velocidade com a expressão fornecida V=\sqrt{\dfrac{8g}{f}}\sqrt{R_H I_0} e a vazão Q=V A. Para decisão sobre configuração do fundo vou usar o parâmetro de Shields \theta=\dfrac{\tau_0}{(\rho_s-\rho) g d_{50}}, a razão de submersão \dfrac{y}{d_{50}} (e \dfrac{y}{d_{90}}), o número de Reynolds de partícula \operatorname{Re}_* e o número de Froude Fr=\dfrac{V}{\sqrt{g y}}. A partir desses pontos compararei com as faixas usuais (explicadas nos passos seguintes).

Passo 2

Cálculo das quantidades geométricas básicas do canal (contas muito diretas, explico cada uma):
  • área molhada:
A = b\,y = 35{,}0\cdot1{,}6 = 56{,}0\\ \mathrm{m^2}.
  • perímetro molhado:
P = b + 2y = 35{,}0 + 2\cdot1{,}6 = 38{,}2\\ \mathrm{m}.
  • raio hidráulico:
R_H = \frac{A}{P} = \frac{56{,}0}{38{,}2} \approx 1{,}46597\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro hidráulico:
D_H = 4 R_H \approx 4\cdot1{,}46597 = 5{,}86389\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: o raio hidráulico R_H é a área molhada dividida pelo perímetro molhado e é a medida efetiva da profundidade que aparece em fórmulas de Atrito; para canal retangular de largura muito maior que profundidade, R_H aproxima-se de y, mas aqui a largura não é tão “muito maior” que y (35 vs 1,6) então calculamos exatamente.

Passo 3

Cálculo da tensão de cisalhamento atuante junto ao fundo \tau_0 e da velocidade de atrito u_*. Vou explicar a física por trás antes de calcular: a componente tangencial do peso do fluido sobre a superfície produz a tensão de fundo; para escoamento uniforme e permanente num canal com declividade I_0 vale a relação hidrostática aproximada
\tau_0 = \gamma R_H I_0,
onde \gamma=\rho g é o peso específico da água. A velocidade de atrito u_* é a velocidade característica da turbulência perto do fundo, definida por
u_* = \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}}.
Agora faço as contas numéricas:
\tau_0 = \gamma R_H I_0 = 9810\cdot1{,}46597\cdot2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m^2}.
Calculando:
\tau_0 \approx 3{,}5953\\ \mathrm{N/m^2}.
Em seguida:
u_* = \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}} = \sqrt{\frac{3{,}5953}{1000}} \approx 0{,}05997\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação curta: \tau_0 de cerca de 3{,}6\\ \mathrm{N/m^2} é moderada; u_* em torno de 0{,}06\\ \mathrm{m/s} é uma velocidade de atrito baixa mas suficiente para movimentar sedimentos finos.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds de partícula (ou de atrito) \operatorname{Re}_* e classificação do regime em função de \operatorname{Re}_*.
Definição e ideia: o número de Reynolds de partícula mede a relação entre forças inerciais e viscosas à escala da partícula, usando a velocidade de atrito:
\operatorname{Re}_* = \frac{u_* d_{50}}{\nu}.
Valores de referência (regimes hidráulicos úteis para julgar rugosidade):
  • \operatorname{Re}_* \lesssim 5: regime hidraulicamente suave (viscoso na escala de grão);
  • 5 \lesssim \operatorname{Re}_* \lesssim 70: região de transição (intermediária);
  • \operatorname{Re}_* \gtrsim 70: regime totalmente áspero (turbulento à escala do grão).
Agora calculo usando \displaystyle d_{50}=5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}:
\operatorname{Re}_* = \frac{0{,}05997\cdot 5{,}0\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-6}} = \frac{2{,}9985\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 29{,}98 \approx 30.
Classificação: \operatorname{Re}_*\approx30 cai na faixa de transição entre regimes suave e áspero — portanto o escoamento é turbulentamente interagindo com as partículas, não completamente no regime hidraulicamente suave nem já plenamente rugoso na escala do grão. Em termos práticos: atrito sentido tem contribuição viscosa e turbulenta (regime de transição).

Passo 5

Cálculo do fator de atrito de Darcy–Weisbach f, usando a forma implícita de Colebrook dada e a identidade útil para evitar iterações diretas.
Formula fornecida para f:
f=\frac{1}{4}\left[\log_{10}\!\left(\frac{k_S}{3{,}71 D_H}+\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\sqrt{f}}\right)\right]^{-2},
onde adotamos \displaystyle k_S = d_{50} = 5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. A dificuldade habitual é que \operatorname{Re} e f aparecem acoplados; o enunciado também forneceu a relação útil
\operatorname{Re}\sqrt{f}=\frac{\sqrt{2 g D_H^{3} I_0}}{\nu},
que permite calcular o termo \operatorname{Re}\sqrt{f} diretamente sem saber f previamente. Vou usar essa identidade.
Primeiro calculemos o lado direito:
\operatorname{Re}\sqrt{f}=\frac{\sqrt{2 g D_H^{3} I_0}}{\nu}.
Inserindo números:
D_H\approx5{,}86389\\ \mathrm{m},\qquad I_0=2{,}5\times10^{-4},\qquad \nu=1{,}0\times10^{-6}.
Calculando numericamente o numerador:
\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot(5{,}86389)^3\cdot2{,}5\times10^{-4}}\approx 0{,}99423.
Dividindo por \nu:
\operatorname{Re}\sqrt{f}\approx \frac{0{,}99423}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 9{,}9423\times10^{5}.
Agora calcule o termo \dfrac{k_S}{3{,}71D_H}:
\frac{k_S}{3{,}71D_H} = \frac{5{,}0\times10^{-4}}{3{,}71\cdot5{,}86389}\approx 2{,}299\times10^{-5}.
E o segundo termo dentro do logaritmo é
\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\sqrt{f}} \approx \frac{2{,}51}{9{,}9423\times10^{5}} \approx 2{,}523\times10^{-6}.
Somando dentro do logaritmo:
\frac{k_S}{3{,}71D_H}+\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\sqrt{f}} \approx 2{,}551\times10^{-5}.
Agora aplicando a expressão para f (usando \log_{10}):
f \approx \frac{1}{4}\left[\log_{10}\!\left(2{,}551\times10^{-5}\right)\right]^{-2}.
Calcule \log_{10}(2{,}551\times10^{-5})\approx -4{,}5932. Logo
f \approx \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(-4{,}5932)^2} \approx 0{,}01185.
Observação sobre método: a combinação com \operatorname{Re}\sqrt{f} permitiu evitar uma iteração explícita; o valor de f obtido é consistente com as estimativas de rugosidade relativa muito baixa dada a grande profundidade (canal grande e sedimento fino comparativamente).

Passo 6

Cálculo da velocidade média V e da vazão Q usando o f encontrado.
A fórmula dada para V é
V = \sqrt{\frac{8g}{f}}\sqrt{R_H I_0}.
Substituindo números:
V \approx \sqrt{\frac{8\cdot9{,}81}{0{,}01185}}\;\sqrt{1{,}46597\cdot2{,}5\times10^{-4}} \approx 1{,}5590\\ \mathrm{m/s}.
A vazão:
Q = V A = 1{,}5590\cdot56{,}0 \approx 87{,}31\\ \mathrm{m^3/s}.
Também convém calcular o número de Reynolds do escoamento (bulk) e o número de Froude para uso nas avaliações de configuração do fundo:
\operatorname{Re} = \frac{V D_H}{\nu} \approx \frac{1{,}5590\cdot5{,}86389}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 9{,}14\times10^{6},
ou seja, escoamento claramente turbulento em escala macroscópica.
E
Fr = \frac{V}{\sqrt{g y}} = \frac{1{,}5590}{\sqrt{9{,}81\cdot1{,}6}} \approx 0{,}3936,
ou seja, escoamento subcrítico ( Fr<1).

Passo 7

Avaliação da configuração do fundo (parte c): cálculo de parâmetros adimensionais e comparação com critérios usuais.
Parâmetros adimensionais calculados (valores que representam os pontos a serem colocados nos gráficos):
  • razão de submersão usando d_{50}:
\frac{y}{d_{50}} = \frac{1{,}6}{5{,}0\times10^{-4}} = 3200.
  • razão de submersão usando d_{90}:
\frac{y}{d_{90}} = \frac{1{,}6}{7{,}0\times10^{-4}} \approx 2285{,}7.
  • parâmetro de Shields (número adimensional de esforço para movimento de grão):
\theta = \frac{\tau_0}{(\rho_s-\rho) g d_{50}}.
Aqui \rho_s = s\rho = 2{,}55\cdot1000 = 2550\\ \mathrm{kg/m^3}, então \rho_s-\rho = 1550\\ \mathrm{kg/m^3}. Calculando:
\theta \approx \frac{3{,}5953}{1550\cdot9{,}81\cdot5{,}0\times10^{-4}} \approx 0{,}4729.
  • número de Reynolds de partícula já calculado:
\operatorname{Re}_* \approx 30.
  • número de Froude já calculado:
Fr\approx0{,}394.
Agora interpretando estes resultados com base nos quatro critérios típicos usados para prever configurações de fundo (vou explicá-los de forma prática e indicar onde o nosso ponto cai):
Critério 1 — Mobilidade (Shields):
  • O valor crítico típico de Shields para iniciar movimento dos grãos é da ordem de \theta_{cr}\approx 0{,}03 (varia com \operatorname{Re}_*, mas essa é uma referência). Nosso \theta\approx0{,}473 é muito maior que \theta_{cr}: portanto os grãos estão largamente em movimento (carga de fundo ativa).
Critério 2 — Razão de submersão y/d:
  • Para valores muito grandes de y/d (centenas a milhares) a configuração tende a ser dunas (dunes) de escala grande; ripples ocorrem para y/d menor (tipicamente y/d de algumas dezenas). Aqui \dfrac{y}{d_{50}}=3200 é extremamente grande → favorece a formação de dunas (ou mesmo leito plano conforme o esforço aumenta).
Critério 3 — Número de Shields combinado com y/d (mapas \theta vs y/d):
  • Em mapas clássicos, com \theta entre cerca de 0{,}01 e 0{,}5 e y/d grande, entra-se na faixa das dunas. Nosso \theta\approx0{,}473 está perto da fronteira superior dessa faixa, mas ainda dentro da região das dunas ou de leito plano rugoso muito desenvolvido — portanto a configuração mais provável é “dunas (de grande escala), possivelmente tendendo a leito mais aplainado conforme mobilidade aumenta”.
Critério 4 — Número de Froude (influência de ondulações estacionárias/antidunas):
  • Antidunas aparecem tipicamente quando Fr é maior que 1 (escoamento supercrítico) e com sedimento móvel. Aqui Fr\approx0{,}394<1, então antidunas e fenômenos da região supercrítica são improváveis. Isso reforça a previsão de dunas (formas de onda estacionárias subcríticas) ou, se o esforço for muito alto, leito plano (upper plane bed) antes de atingir condições supercríticas.
Conclusão para a parte (c) (resumindo e indicando os pontos para os gráficos):
  • Nos mapas \theta vs y/d_{50} e \theta vs y/d_{90} o ponto a plotar seria (y/d_{50}=3200,\\ \theta=0{,}473) e (y/d_{90}=2285{,}7,\\ \theta=0{,}473) — ambos caem na região tipicamente associada a DUNAS de grande escala ou transição para leito plano superior.
  • No gráfico \operatorname{Re}_* vs y/d_{50} plotar (\operatorname{Re}_*=30,\\ y/d_{50}=3200) — está na faixa de transição rugosidade, compatível com dunas.
  • No gráfico Fr vs y/d_{50} plotar (Fr=0{,}394,\\ y/d_{50}=3200) — ponto bem dentro da região subcrítica (afasta antidunas).
Portanto, a configuração de fundo passível de ocorrer: dunas (dunas de grande escala, possivelmente de baixa amplitude relativa ou dunas “planas” se o leito estiver muito móvel), e o regime de escoamento correspondente é subcrítico e turbulento (escoamento turbulento em escala macroscópica, mas com \operatorname{Re}_* na faixa de transição na escala do grão).

Resposta

(a) \tau_0 \approx 3{,}595\\ \mathrm{N/m^2};\quad u_* \approx 0{,}05997\\ \mathrm{m/s};\quad \operatorname{Re}_* \approx 30 (regime de rugosidade: transição entre hidraulicamente suave e totalmente áspero).
(b) f \approx 0{,}01185;\quad V \approx 1{,}559\\ \mathrm{m/s};\quad Q \approx 87{,}31\\ \mathrm{m^3/s}.
(c) Configuração de fundo provável: dunas de grande escala (possivelmente tendendo a leito mais plano com alta mobilidade); regime de escoamento: turbulento subcrítico ( Fr\approx0{,}394), com sedimento em movimento ( \theta\approx0{,}473) — pontos a plotar: (y/d_{50}=3200,\\ \theta=0{,}473), (y/d_{90}=2285{,}7,\\ \theta=0{,}473), (\operatorname{Re}_*=30,\\ y/d_{50}=3200), (Fr=0{,}394,\\ y/d_{50}=3200).

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