Um trecho de um rio tem declividade de fundo Io igual a
e material de fundo constituído de partículas com
, fator de forma 0,5 e densidade relativa igual a 2,55 . Sabendo-se que nesse trecho o escoamento (suposto permanente e uniforme) ocorre com uma profundidade de água
e uma largura da seção (aproximada como retangular)
, pede-se determinar:
a) a tensão de cisalhamento atuante junto ao fundo (
), a velocidade de atrito (
), o número de Reynolds de atrito (ou da partícula) e a correspondente classificação do regime de escoamento (em função de
*);
b) o fator de atrito de Darcy-Weisbach (considerando-se fundo plano e altura de rugosidade uniforme equivalente igual ao diâmetro médio do material,
) e as correspondentes velocidade média (
) e vazão no canal (
);
c) a configuração de fundo passível de ocorrer e o correspondente regime de escoamento, com base nos quatro critérios para previsão das configurações de fundo apresentados (indicar pontos nos gráficos);
a) a tensão de cisalhamento atuante junto ao fundo (
b) o fator de atrito de Darcy-Weisbach (considerando-se fundo plano e altura de rugosidade uniforme equivalente igual ao diâmetro médio do material,
c) a configuração de fundo passível de ocorrer e o correspondente regime de escoamento, com base nos quatro critérios para previsão das configurações de fundo apresentados (indicar pontos nos gráficos);
Passo 1
O enunciado fornece um trecho retangular de rio com as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para não perder nada):
- declividade do fundo:
; - distribuição de sedimento:
, ; - fator de forma (shape factor) =
(não será necessário para as contas principais pedidas, mas fica anotado); - densidade relativa do sedimento:
(isto implica ); - profundidade de escoamento:
; - largura retangular aproximada:
.
Constantes físicas que usarei (valores usuais para água à temperatura ambiente):
- massa volúmica da água:
; - peso específico da água:
; - aceleração da gravidade:
; - viscosidade cinemática aproximada:
(valor padrão, se a prova pedir outro, substituir); - adotarei
(mediana) aproximada a partir de e como a média aritmética simples (quando não há no enunciado isto é uma aproximação aceitável):
O que o enunciado pede:
a) determinar a tensão de cisalhamento junto ao fundo (
), a velocidade de atrito
(
), o número de Reynolds de atrito (ou da partícula)
e classificar o regime em função de
;
b) calcular o fator de atrito de Darcy–Weisbach (considerando
), e então obter a velocidade média
(
) e a vazão
(
);
c) indicar a configuração do fundo passível de ocorrer e o correspondente regime de escoamento, usando os quatro critérios (vou calcular e apresentar os pontos que deveriam ser colocados nos gráficos desses critérios).
a) determinar a tensão de cisalhamento junto ao fundo
b) calcular o fator de atrito de Darcy–Weisbach
c) indicar a configuração do fundo passível de ocorrer e o correspondente regime de escoamento, usando os quatro critérios (vou calcular e apresentar os pontos que deveriam ser colocados nos gráficos desses critérios).
Observações que usarei: área molhada
, perímetro molhado
, raio hidráulico
, diâmetro hidráulico
. A fórmula para tensão de fundo é
. Velocidade de atrito
. Número de Reynolds de partícula
. Para o fator
usarei a forma implícita de Colebrook fornecida e a fórmula útil
para facilitar os cálculos sem iterações pesadas. Também calcularei a velocidade com a expressão fornecida
e a vazão
. Para decisão sobre configuração do fundo vou usar o parâmetro de Shields
, a razão de submersão
(e
), o número de Reynolds de partícula
e o número de Froude
. A partir desses pontos compararei com as faixas usuais (explicadas nos passos seguintes).
Passo 2
Cálculo das quantidades geométricas básicas do canal (contas muito diretas, explico cada uma):
- área molhada:
- perímetro molhado:
- raio hidráulico:
- diâmetro hidráulico:
Explicação rápida: o raio hidráulico
é a área molhada dividida pelo perímetro molhado e é a medida efetiva da profundidade que aparece em fórmulas de Atrito; para canal retangular de largura muito maior que profundidade,
aproxima-se de
, mas aqui a largura não é tão “muito maior” que
(35 vs 1,6) então calculamos exatamente.
Passo 3
Cálculo da tensão de cisalhamento atuante junto ao fundo
e da velocidade de atrito
. Vou explicar a física por trás antes de calcular: a componente tangencial do peso do fluido sobre a superfície produz a tensão de fundo; para escoamento uniforme e permanente num canal com declividade
vale a relação hidrostática aproximada
onde
é o peso específico da água. A velocidade de atrito
é a velocidade característica da turbulência perto do fundo, definida por
Agora faço as contas numéricas:
Calculando:
Em seguida:
Interpretação curta:
de cerca de
é moderada;
em torno de
é uma velocidade de atrito baixa mas suficiente para movimentar sedimentos finos.
Passo 4
Cálculo do número de Reynolds de partícula (ou de atrito)
e classificação do regime em função de
.
Definição e ideia: o número de Reynolds de partícula mede a relação entre forças inerciais e viscosas à escala da partícula, usando a velocidade de atrito:
Valores de referência (regimes hidráulicos úteis para julgar rugosidade):
-
: regime hidraulicamente suave (viscoso na escala de grão); -
: região de transição (intermediária); -
: regime totalmente áspero (turbulento à escala do grão).
Agora calculo usando
e
:
Classificação:
cai na faixa de transição entre regimes suave e áspero — portanto o escoamento é turbulentamente interagindo com as partículas, não completamente no regime hidraulicamente suave nem já plenamente rugoso na escala do grão. Em termos práticos: atrito sentido tem contribuição viscosa e turbulenta (regime de transição).
Passo 5
Cálculo do fator de atrito de Darcy–Weisbach
, usando a forma implícita de Colebrook dada e a identidade útil para evitar iterações diretas.
Formula fornecida para
:
onde adotamos
. A dificuldade habitual é que
e
aparecem acoplados; o enunciado também forneceu a relação útil
que permite calcular o termo
diretamente sem saber
previamente. Vou usar essa identidade.
Primeiro calculemos o lado direito:
Inserindo números:
Calculando numericamente o numerador:
Dividindo por
:
Agora calcule o termo
:
E o segundo termo dentro do logaritmo é
Somando dentro do logaritmo:
Agora aplicando a expressão para
(usando
):
Calcule
. Logo
Observação sobre método: a combinação com
permitiu evitar uma iteração explícita; o valor de
obtido é consistente com as estimativas de rugosidade relativa muito baixa dada a grande profundidade (canal grande e sedimento fino comparativamente).
Passo 6
Cálculo da velocidade média
e da vazão
usando o
encontrado.
A fórmula dada para
é
Substituindo números:
A vazão:
Também convém calcular o número de Reynolds do escoamento (bulk) e o número de Froude para uso nas avaliações de configuração do fundo:
ou seja, escoamento claramente turbulento em escala macroscópica.
E
E
ou seja, escoamento subcrítico (
).
Passo 7
Avaliação da configuração do fundo (parte c): cálculo de parâmetros adimensionais e comparação com critérios usuais.
Parâmetros adimensionais calculados (valores que representam os pontos a serem colocados nos gráficos):
- razão de submersão usando
:
- razão de submersão usando
:
- parâmetro de Shields (número adimensional de esforço para movimento de grão):
Aqui
, então
. Calculando:
- número de Reynolds de partícula já calculado:
- número de Froude já calculado:
Agora interpretando estes resultados com base nos quatro critérios típicos usados para prever configurações de fundo (vou explicá-los de forma prática e indicar onde o nosso ponto cai):
Critério 1 — Mobilidade (Shields):
- O valor crítico típico de Shields para iniciar movimento dos grãos é da ordem de
(varia com , mas essa é uma referência). Nosso é muito maior que : portanto os grãos estão largamente em movimento (carga de fundo ativa).
Critério 2 — Razão de submersão
:
- Para valores muito grandes de
(centenas a milhares) a configuração tende a ser dunas (dunes) de escala grande; ripples ocorrem para menor (tipicamente de algumas dezenas). Aqui é extremamente grande → favorece a formação de dunas (ou mesmo leito plano conforme o esforço aumenta).
Critério 3 — Número de Shields combinado com
(mapas
vs
):
- Em mapas clássicos, com
entre cerca de e e grande, entra-se na faixa das dunas. Nosso está perto da fronteira superior dessa faixa, mas ainda dentro da região das dunas ou de leito plano rugoso muito desenvolvido — portanto a configuração mais provável é “dunas (de grande escala), possivelmente tendendo a leito mais aplainado conforme mobilidade aumenta”.
Critério 4 — Número de Froude (influência de ondulações estacionárias/antidunas):
- Antidunas aparecem tipicamente quando
é maior que 1 (escoamento supercrítico) e com sedimento móvel. Aqui , então antidunas e fenômenos da região supercrítica são improváveis. Isso reforça a previsão de dunas (formas de onda estacionárias subcríticas) ou, se o esforço for muito alto, leito plano (upper plane bed) antes de atingir condições supercríticas.
Conclusão para a parte (c) (resumindo e indicando os pontos para os gráficos):
- Nos mapas
vs e vs o ponto a plotar seria e — ambos caem na região tipicamente associada a DUNAS de grande escala ou transição para leito plano superior. - No gráfico
vs plotar — está na faixa de transição rugosidade, compatível com dunas. - No gráfico
vs plotar — ponto bem dentro da região subcrítica (afasta antidunas).
Portanto, a configuração de fundo passível de ocorrer: dunas (dunas de grande escala, possivelmente de baixa amplitude relativa ou dunas “planas” se o leito estiver muito móvel), e o regime de escoamento correspondente é subcrítico e turbulento (escoamento turbulento em escala macroscópica, mas com
na faixa de transição na escala do grão).
Resposta
(a)
(regime de rugosidade: transição entre hidraulicamente suave e totalmente áspero).
(b)
(c) Configuração de fundo provável: dunas de grande escala (possivelmente tendendo a leito mais plano com alta mobilidade); regime de escoamento: turbulento subcrítico ( ), com sedimento em movimento (
) — pontos a plotar:
,
,
,
.
(b)
(c) Configuração de fundo provável: dunas de grande escala (possivelmente tendendo a leito mais plano com alta mobilidade); regime de escoamento: turbulento subcrítico (