Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica
em regime permanente. A vazão volumétrica é
e a variação de pressão observada no escoamento é
. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de
em função de
para os seguintes casos:
O diâmetro interno é
do original, mantidos
e
constantes
O diâmetro interno é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido escoando por um tubo horizontal com diâmetro interno $ D $ e comprimento total $ L $. A gente sabe que a vazão volumétrica é $ Q $ e a variação de pressão no escoamento é $ \Delta P $. O exercício pede para calcular como
muda quando o diâmetro do tubo diminui para 70% do original, mantendo $ Q $, $ L $ e $ \rho $ (massa específica do fluido) constantes. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga (variação de pressão) com características do fluxo e do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Darcy-Weisbach para a perda de pressão em um tubo:
Aqui:
- $ f $ é o fator de atrito, que depende do regime do fluxo (como é turbulento aqui).
- $ L $ é o comprimento do tubo.
- $ D $ é o diâmetro interno do tubo.
- $ \rho $ é a massa específica do fluido.
- $ v $ é a velocidade média do fluido.
Passo 3
Sabemos que a vazão volumétrica $ Q $ está relacionada com a velocidade $ v $ e o diâmetro $ D $ pela fórmula:
Desse jeito, podemos isolar $ v $:
Passo 4
Vamos substituir essa expressão de $ v $ na fórmula da perda de pressão:
Simplificando:
Então:
Isso mostra que a variação de pressão é inversamente proporcional à quinta potência do diâmetro.
Passo 5
Agora, queremos ver como $ \Delta P $ muda quando o diâmetro é reduzido para 70% do original. Vamos chamar o diâmetro original de $ D $ e o novo diâmetro de $ D’ = 0,7D $.
A relação de $ \Delta P’ $ em função de $ \Delta P $ será:
Calculando isso:
Resposta
Quando o diâmetro interno do tubo é reduzido para 70% do original, a variação de pressão $ \Delta P $ aumenta aproximadamente 5,38 vezes. Ou seja, $ \Delta P’ \approx 5,38 \Delta P $.