Por um tubo horizontal de diâmetro interno D e comprimento total L escoa um fluido de massa especifica rho em regime permanente. A vazão volumétrica é Q e a variação de pressão observada no escoamento é De. Admitindo que o escoamento é completamente rugoso (turbulento) em todas as situações, calcule o novo valor de variação de De em função de De para os seguintes casos:
O diâmetro interno é 70 % do original, mantidos Q, L e rho constantes

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido escoando por um tubo horizontal com diâmetro interno $ D $ e comprimento total $ L $. A gente sabe que a vazão volumétrica é $ Q $ e a variação de pressão no escoamento é $ \Delta P $. O exercício pede para calcular como D muda quando o diâmetro do tubo diminui para 70% do original, mantendo $ Q $, $ L $ e $ \rho $ (massa específica do fluido) constantes. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga (variação de pressão) com características do fluxo e do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Darcy-Weisbach para a perda de pressão em um tubo:
De
Aqui:
  • $ f $ é o fator de atrito, que depende do regime do fluxo (como é turbulento aqui).
  • $ L $ é o comprimento do tubo.
  • $ D $ é o diâmetro interno do tubo.
  • $ \rho $ é a massa específica do fluido.
  • $ v $ é a velocidade média do fluido.

Passo 3

Sabemos que a vazão volumétrica $ Q $ está relacionada com a velocidade $ v $ e o diâmetro $ D $ pela fórmula:
Q
Desse jeito, podemos isolar $ v $:
v

Passo 4

Vamos substituir essa expressão de $ v $ na fórmula da perda de pressão:
v
Simplificando:
De
Então:
De
Isso mostra que a variação de pressão é inversamente proporcional à quinta potência do diâmetro.

Passo 5

Agora, queremos ver como $ \Delta P $ muda quando o diâmetro é reduzido para 70% do original. Vamos chamar o diâmetro original de $ D $ e o novo diâmetro de $ D’ = 0,7D $.
A relação de $ \Delta P’ $ em função de $ \Delta P $ será:
De
Calculando isso:
D

Resposta

Quando o diâmetro interno do tubo é reduzido para 70% do original, a variação de pressão $ \Delta P $ aumenta aproximadamente 5,38 vezes. Ou seja, $ \Delta P’ \approx 5,38 \Delta P $.

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