Um túbo liso horizontal, de 100 m de comprimento, está conectado a um grande reservatório. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzír una vazăo volumétrica de água de 0,01 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} que é descarregada para a atmosfera? O diâmetro interno do tubo liso é 75 mm . A entrada é de borda viya, cujo coeficiente de perda de carga localizada é 0,5 e a água descarrega para a atmosfera. Considere o escoamento turbulcato.
\begin{aligned} & T=20^{\circ} \mathrm{C} \\\ & H=1,0 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a profundidade d no reservatório necessária para manter uma vazão Q=0,01\\ \mathrm{m^3/s} através de um tubo liso horizontal de comprimento L=100\\ \mathrm m e diâmetro interno D=0,075\\ \mathrm m. Há uma perda localizada de entrada com coeficiente K_e=0,5 e a saída é livre para a atmosfera. Vamos usar a equação da energia (Bernoulli) entre a superfície livre do reservatório e a seção de saída, somando perda localizada, perda por atrito e a própria energia cinética na saída. Precisamos ainda da viscosidade dinâmica \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} e da densidade da água \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 2

Calcular a velocidade média v no tubo a partir da continuidade:
A = \frac{\pi D^2}{4},\quad v = \frac{Q}{A}.
Substituindo,
A = \frac{\pi (0,075)^2}{4}\approx0,004418\\ \mathrm{m^2},\quad v = \frac{0,01}{0,004418}\approx2,263\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds para checar se estamos em escoamento turbulento:
\mathrm{Re} = \frac{\rho \,v\,D}{\mu} = \frac{1000\cdot2,263\cdot0,075}{1{,}0\times10^{-3}} \approx1{,}70\times10^{5},
ou seja, turbulento.

Passo 4

Obter o fator de atrito f num tubo liso. Para escoamento turbulento suave, usamos a fórmula de Blasius:
f \approx \frac{0,3164}{\mathrm{Re}^{1/4}} = \frac{0,3164}{(1{,}70\times10^5)^{1/4}} \approx0,0156.

Passo 5

Aplicar a equação de energia entre a superfície livre (cota d, velocidade desprezível) e a saída (cota zero, pressão atmosférica):
d = \underbrace{K_e\frac{v^2}{2g}}_{\substack{\text{perda}\\text{local}}} +\underbrace{f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}}_{\substack{\text{perda}\\text{por atrito}}} +\underbrace{1\cdot\frac{v^2}{2g}}_{\substack{\text{energia}\\text{cinética na saída}}},éí
onde o “1” no último termo representa a própria energia cinética \tfrac{v^2}{2g} na saída livre. Logo,
d = \bigl(K_e + f\,\tfrac{L}{D} + 1\bigr)\frac{v^2}{2g} = \bigl(0,5 + 0,0156\cdot\tfrac{100}{0,075} + 1\bigr)\frac{2,263^2}{2\cdot9,81}.
Calculemos passo a passo:
f\,\tfrac{L}{D} = 0,0156\cdot\frac{100}{0,075}\approx20,78,\quad K_e + f\tfrac{L}{D} + 1 \approx0,5+20,78+1 = 22,28,
\frac{v^2}{2g} = \frac{2,263^2}{2\cdot9,81}\approx0,261\\ \mathrm m,
d \approx 22,28\times0,261 \approx5,81\\ \mathrm m.

Resposta

A profundidade requerida no reservatório é aproximadamente 5{,}8\\ \mathrm m.

Exercícios relacionados