1. Um tubo maciço de aço de diâmetro 8 cm e comprimento 1 m , inicialmente a 200 ^circ C é mergulhado em óleo a 20 ^circ C, sendo o coeficiente de convecção entre o óleo e o tubo de 30 W / m^2 ^circ C.
    Qual a temperatura do tubo ao fim de 20 segundos. Qual o tempo necessário para o tubo atingir os 70^circ C.
    Aço: condutividade: 43 W / m^circ C; massa específica: 7800 kg / m^3; calor especifico: 0.465 kJ / kg^circ C

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro maciço de aço (diâmetro D=8;cm, comprimento L=1;m), inicialmente a Ti=200,^circC, mergulhado em óleo a Tinfty=20,^circC com coeficiente de convecção h=30;W/m^2,^circC. Queremos (1) a temperatura do tubo após t=20;s e (2) o tempo necessário para atingir 70,^circC. O conteúdo é método de capacidade concentrada (lumped capacitance), válido se o número de Biot Bi<0,1.

Passo 2

Calcular volume V, área de troca A e comprimento característico Lc=V/A.
V = pi D^24,L = pi (0,08)^24times1 = 5,0265times10^-3;m^3
A = underbracepi D Llateral + underbrace2l(pi D^24r)tampas = picdot0,08cdot1 + 2cdotpicdot(0,08)^24 = 0,26135;m^2
Lc = VA = 5,0265times10^-30,26135 = 1,9235times10^-2;m

Passo 3

Verificar Biot:
Bi = h,Lck = 30times1,9235times10^-243 = 0,0134 < 0,1
Logo podemos usar o método de capacidade concentrada, pois o gradiente de temperatura interno é desprezível.

Passo 4

No método lumped, a temperatura uniforme T(t) satisfaz
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty),expl(-hArho,c,V,tr)
Calcular massa e constante de tempo:
m = rho,V = 7800times5,0265times10^-3 = 39,21;kg, c = 465;J/(kg,^circ C),
tau = rho,c,Vh,A = m,ch,A = 39,21times46530times0,26135 = 2,326times10^3;s

Passo 5

Temperatura ao fim de 20;s:
T(20) = 20 + (200 - 20),expl(-202326r) = 20 + 180,e^-0,00860 approx 20 + 180times0,99144 = 198,46,^circC

Passo 6

Tempo para T(t)=70,^circC:
70 = 20 + 180,e^-t/2326 ;Longrightarrow; e^-t/2326 = 50180 = 0,27778 ;Longrightarrow; -t2326 = ln(0,27778) = -1,2809
t = 1,2809times2326 = 2,979;times10^3;s approx 49,7;min

Resposta

Temperatura após 20;s: 198,5,^circC.
Tempo para atingir 70,^circC: 2,98times10^3;s (aprox. 49,7;min).

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