1. Uma placa de aço com 2 times 2 me 2 cm de espessura inicialmente a 15 ^circ C é mergulhada num banho de óleo a 140^circ C, sendo o coeficiente de convecção entre o óleo e a placa de 500 kCal / h m^2 ^circ C. Determine a temperatura num ponto do centro da placa ao fim de 4 minutos e num ponto a 1 / 4 da espessura da placa. Qual o calor ganho pela placa nesse tempo.

Passo 1

O enunciado dá uma placa de aço de área 2times2 m^2 e espessura total 2b=2 cm=0,02 m, inicialmente a Ti=15,^circ C, mergulhada num banho de óleo a Tinfty=140,^circ C com coeficiente de convecção h=500 kcal/( h, m^2,^circ C). Pede-se a temperatura no centro da placa ( x=0) e num ponto a 1/4 da espessura (distância 0,005 m da superfície) após t=4 min, e o calor ganho pela placa nesse tempo. Vamos usar a solução unidimensional transiente para uma lâmina com superfícies simétricas sujeitas a convecção.

Passo 2

Reunindo dados e propriedades do aço (valores típicos):
&Metade da espessura: L=b=0,01 m, &Área de cada face: Arm face=2times2=4 m^2, Arm total=2,Arm face=8 m^2, &rho=7800 kg/m^3, cp=0,12 kcal/(kg,^circ C), k=42 kcal/(h,m,^circ C), &alpha=krho cp =427800cdot0,12approx0,04487 m^2/ h Á

Passo 3

Calcular parâmetros adimensionais:
Bi=h,Lk =500cdot0,0142approx0,119, Fo=alpha,tL^2 =0,04487,(4/60)(0,01)^2approx29,9

Passo 4

Encontrar o primeiro autovalor zeta1 da condição
tanzeta1=Bizeta1
Numericamente obtém-se
zeta1approx0,339.
O coeficiente correspondente é
A1 =4sinzeta12zeta1+sin(2zeta1) approx1,02

Passo 5

A solução unidimensional dá, para a variação de temperatura theta=T-Tinfty,
theta(x,t)thetai approx A1expl(-zeta1^2,For)cos!l(zeta1,tfracxLr),
com thetai=Ti-Tinfty=-125,^circ C.

Passo 6

No centro ( x=0, cos0=1):
theta(0,t)thetai =1,02exp(-0,339^2cdot29,9)approx0,03264,
Trm centro =140+0,03264,(15-140) approx135,9,^circ C

Passo 7

No ponto 1/4 da espessura a partir da face: x=0,005 mRightarrow x/L=0,5,
cos(0,339cdot0,5)approx0,9857, thetathetai =1,02,e^-3,438cdot0,9857approx0,03218,
T1/4 =140+0,03218,(15-140) approx135,98,^circ C

Passo 8

Para o calor ganho usamos o modelo de capacitância concentrada (válido pois Bi<0,1 e condução rápida).
Massa e calor específico:
m=rho,V =rho,Arm face,(2L) =7800cdot4cdot0,02 =624 kg, m,cp=624cdot0,12=74,88 kcal/^circ C
Constante de tempo convectiva total:
tau=m,cph,Arm total =74,88500cdot8approx0,01872 h =1,12 min
Temperatura média após t=4 min:
Trm m(t) =Tinfty+(Ti-Tinfty)exp!l(-ttaur) =140-125,e^-4/1,12 approx136,4,^circ C
Logo o calor ganho é
Q =m,cpl[Trm m(t)-Tir] =74,88,(136,4-15) approx9,090 kcal

Resposta

Temperatura no centro: 135,9,^circ C.
Temperatura a 1/4 da espessura: 135,98,^circ C.
Calor ganho pela placa em 4 min: Qapprox9,090 kcal

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