O tubo de um manômetro é parcialmente preenchido com água (densidade de água rho=1 0 0 0 k g / m^3 ) e altura (h água) dessa coluna igual a 1 m. Despeja-se óleo ( que não se mistura com a água e possui uma densidade menor do que água (densidade de óleo rho=8 0 0 k g / m^3 ) no outro braço do manômetro até que a linha de separação entre o óleo e a água esteja na metade de tubo. Ambos os braçõs do tubo são abertos para o ar. Encontre a altura de colina de óleo (h óleo)?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um manômetro, que é aquele aparelho em forma de U, usado para medir pressão. Neste caso, um dos braços está preenchido com água com uma altura de 1 metro. Depois, despejamos óleo no outro braço até que a linha que separa o óleo da água fique exatamente no meio do tubo. Sabemos que a água tem densidade de 1000 kg/m³ e o óleo tem densidade de 800 kg/m³. Nosso objetivo é descobrir qual será a altura da coluna de óleo, chamada de $ h_{óleo} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as pressões funcionam nos fluidos em equilíbrio. Vamos usar a ideia de que, em equilíbrio, a pressão exercida pela coluna de água deve ser igual à pressão exercida pela coluna de óleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida por uma coluna de líquido pode ser calculada usando a fórmula:
P = rho cdot g cdot h
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ \rho $ é a densidade do líquido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s² $),
  • $ h $ é a altura da coluna de líquido.

Passo 3

No braço do manômetro que contém água, a pressão exercida pela coluna de água é:
Págua = rhoágua cdot g cdot hágua ááá
Substituindo os valores conhecidos:
Págua = 1000 , kg/m³ cdot g cdot 1 , m á³

Passo 4

No outro braço, que contém óleo, a pressão exercida pela coluna de óleo é:
Pó<=o = rhoó<=o cdot g cdot hó<=o óóó
Como a linha de separação está no meio do tubo e os braços estão abertos à atmosfera, as pressões nas duas colunas devem ser iguais para que o sistema esteja em equilíbrio. Portanto:
Págua = Pó<=o áó

Passo 5

Igualando as duas expressões de pressão:
rhoágua cdot g cdot hágua = rhoó<=o cdot g cdot hó<=o ááóó
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ g $:
g ááóó

Passo 6

Agora, vamos isolar $ h_{óleo} $ para encontrar a altura da coluna de óleo:
hó<=o óááó
Substituindo os valores conhecidos:
hó<=o = rhoágua cdot háguarhoó<=o ó³³

Passo 7

Fazendo os cálculos:
hó<=o = 1000800 cdot 1 , m = 1,25 , m ó

Resposta

A altura da coluna de óleo é de 1,25 metros.

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