Um tubo de 5,0 \mathrm{~cm} de diâmetro externo e 0,5 \mathrm{~m} de comprimento tem as paredes externas a 155^{\circ} \mathrm{C}. Ele está em um ambiente sem ventilação externa a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm}. Qual a taxa de perda de calor por convecção se:
o tubo estiver na vertical? Explique por que ocorre essa diferença.

Passo 1

O enunciado dá um tubo com diâmetro externo D=5{,}0\\ \mathrm{cm} e comprimento L=0{,}5\\ \mathrm{m}. A parede externa do tubo está a 155^\circ\mathrm{C} e o ambiente está a 25^\circ\mathrm{C}. Não há ventilação externa (convecção natural) e a pressão é 1{,}0\\ \mathrm{atm}. A pergunta: calcular a taxa de perda de calor por convecção quando o tubo estiver na vertical e explicar por que há diferença de orientação. Dados relevantes listados:
D=0{,}050\\ \mathrm{m},\quad L=0{,}50\\ \mathrm{m},\quad T_s=155^\circ\mathrm{C},\quad T_\infty=25^\circ\mathrm{C},
\Delta T=T_s-T_\infty=130\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Estratégia de resolução (resumida, sem começar contas ainda): como não há ventilação forçada, usamos convecção natural. Para um cilindro vertical delgado ( L/D=10), é comum usar a correlação de Churchill & Chu para convecção natural em superfícies verticais (usando L como comprimento característico), que dá o número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_L em função de \mathrm{Ra}_L (número de Rayleigh baseado em L) e \mathrm{Pr} (Prandtl). Vou definir as grandezas importantes e depois calcular passo a passo:
  • g: aceleração da gravidade.
  • \beta: coeficiente de expansão térmica do fluido (para gás ideal \beta\approx 1/T_{f}, com T_f em K).
  • \nu: viscosidade cinemática do ar.
  • \alpha: difusividade térmica do ar.
  • \mathrm{Pr}=\nu/\alpha.
  • \mathrm{Ra}_L = \dfrac{g\beta \Delta T L^3}{\nu \alpha}.
  • Correlação de Churchill & Chu para superfície vertical:
\mathrm{Nu}_L = 0{,}68 + \frac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left(1+\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}.
Depois \displaystyle h=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L} e \dot Q = h\,A\,\Delta T com A=\pi D L.

Passo 3

Escolher temperatura de filme e propriedades do ar. A temperatura de filme é a média entre superfície e ambiente:
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{155+25}{2}=90^\circ\mathrm{C}=363\\ \mathrm{K}.
Para ar a T_f\approx 363\\ \mathrm{K} vou usar valores aproximados (típicos de tabelas):
k\approx 0{,}030\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}},\quad \nu\approx 2{,}2\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\quad \mathrm{Pr}\approx 0{,}7.
O coeficiente de expansão térmica (para gás ideal) é
\beta\approx \frac{1}{T_f}=\frac{1}{363}\\ \mathrm{K^{-1}}\approx 2{,}754\times 10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
(Obs.: esses valores vêm de tabelas de propriedades do ar a 90^\circC; usei aproximações usuais para facilitar cálculo de prova.)

Passo 4

Calcular o número de Rayleigh baseado em L:
\mathrm{Ra}_L=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu\,\alpha}.
Como \alpha=\dfrac{\nu}{\mathrm{Pr}}, podemos escrever
\mathrm{Ra}_L=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3\,\mathrm{Pr}}{\nu^2}.
Substituindo números ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \Delta T=130\\ \mathrm{K}, L=0{,}5\\ \mathrm{m}):
L^3=(0{,}5)^3=0{,}125\\ \mathrm{m^3}.
Calcule o numerador:
9{,}81\times 2{,}754\times10^{-3}\times 130\times 0{,}125\times 0{,}7 \approx 0{,}3072.
Calcule \nu^2=(2{,}2\times10^{-5})^2=4{,}84\times10^{-10}.
Logo
\mathrm{Ra}_L\approx\frac{0{,}3072}{4{,}84\times10^{-10}}\approx 6{,}35\times10^{8}.
Esse valor está na faixa onde a correlação de Churchill & Chu é válida (entre cerca de 10^4 e 10^9).

Passo 5

Aplicar a correlação de Churchill & Chu para obter \mathrm{Nu}_L:
\mathrm{Nu}_L = 0{,}68 + \frac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left(1+\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right)^{4/9}}.
Calcule \mathrm{Ra}_L^{1/4}:
\mathrm{Ra}_L^{1/4}=(6{,}35\times10^{8})^{1/4}\approx 158{,}6.
Calcule o denominador auxiliar:
\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}=\left(\dfrac{0{,}492}{0{,}7}\right)^{9/16}\approx 0{,}8197,
\left(1+0{,}8197\right)^{4/9}\approx 1{,}305.
Agora a fração:
\frac{0{,}670\times 158{,}6}{1{,}305}\approx \frac{106{,}26}{1{,}305}\approx 81{,}4.
Somando a constante:
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}68 + 81{,}4 \approx 82{,}08.

Passo 6

Determinar o coeficiente de transferência de calor convectivo médio h:
h=\frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L}=\frac{82{,}08\times 0{,}030}{0{,}5}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Calcule:
h\approx \frac{2{,}4624}{0{,}5}\approx 4{,}925\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.

Passo 7

Área de superfície externa do cilindro:
A=\pi D L=\pi\times 0{,}050\times 0{,}50=\pi\times 0{,}025\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}07854\\ \mathrm{m^2}.
Taxa de perda de calor por convecção:
\dot Q = h\,A\,\Delta T = 4{,}925\times 0{,}07854\times 130\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
4{,}925\times 0{,}07854\approx 0{,}3869,
\dot Q \approx 0{,}3869\times 130 \approx 50{,}3\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Interpretação e explicação da diferença de orientação (por que muda se o tubo estivesse horizontal):
  • A convecção natural é controlada pelo padrão do escoamento induzido pela flutuação (ar quente sobe). A orientação do cilindro altera como a camada limite térmica se forma e como o ar quente se desprende e se mistura com o ambiente.
  • No cilindro vertical a camada limite cresce ao longo da altura: o ar aquece na base da superfície quente e sobe formando um escoamento ascendente contínuo ao longo do tubo. O comprimento L controla o desenvolvimento da camada limite, por isso usamos L como comprimento característico.
  • No cilindro horizontal o aquecimento produz uma circulação ao redor do perímetro e a geometria usa tipicamente o diâmetro D como comprimento característico; o padrão de escoamento (regiões de separação, recirculações acima do cilindro) pode aumentar a mistura e frequentemente levar a coeficientes de transferência maiores por unidade de área que no caso vertical, dependendo dos números adimensionais. Em suma: orientação altera o desenvolvimento da camada limite e a intensidade do transporte de calor, por isso a taxa de perda muda.
  • Comentário prático: para este tubo vertical calculei \dot Q\approx 50{,}3\\ \mathrm{W}. Se você pedisse o caso horizontal, seria necessário aplicar a correlação adequada para cilindro horizontal (usar D como comprimento característico) e obteríamos outro h e outra \dot Q.

Resposta

\dot{Q}\approx 50{,}3\\ \mathrm{W}

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