Um tubo de parede fina com raio interno r e espessura de parede t é submetido à pressão uniforme p. O material de que é feito o tubo tem módulo de Young E e coeficiente de Poisson v. Pede-se:
Sendo p=1 MPa, E=200 GPa, v=0,3 e r=100 mm, calcule a variação da espessura deste tubo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo com uma parede bem fina, com raio interno de $ r = 100 $ mm e uma espessura de parede $ t $. Esse tubo está sendo pressionado de maneira uniforme com uma pressão $ p = 1 $ MPa. O material do tubo tem um Módulo de Young $ E = 200 $ GPa e um coeficiente de Poisson $ \nu = 0,3 $. Nosso objetivo aqui é calcular como a espessura do tubo vai mudar por causa dessa pressão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados a tubos submetidos a pressões internas e às propriedades dos materiais elásticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a pressão interna afeta o tubo. Quando uma pressão como a $ p $ age de dentro para fora, ela cria tensões no material do tubo. Essas tensões vão fazer com que o tubo se deforme, ou seja, mude suas dimensões originais. Para tubos de parede fina, que é o nosso caso, a espessura $ t $ é bem menor que o raio $ r $, então podemos simplificar os cálculos assumindo que as tensões na parede são uniformes.

Passo 3

Vamos calcular a tensão circumferencial ($ \sigma_{\theta} $) no tubo devido à pressão interna. A tensão circumferencial, também conhecida como tensão tangencial, é a principal tensão que atua ao redor do tubo. A fórmula para a tensão circumferencial em um tubo de parede fina é:
sigmatheta
Aqui, $ p $ é a pressão interna, $ r $ é o raio interno, e $ t $ é a espessura da parede.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a deformação na espessura do tubo causada por essa tensão. Para isso, usamos a relação entre tensão e deformação, que vem do Módulo de Young ($ E E \nu nu çã \epsilon $) na direção da tensão é dada por:
epsilon
Como o tubo está sendo submetido apenas à pressão interna, a tensão radial ($ \sigma_{r} $) é bem pequena comparada à tensão circumferencial e pode ser desprezada em tubos de parede fina. Assim, a fórmula simplifica para:
epsilontheta = sigmathetaE - nu cdot sigmarE

Passo 5

A deformação na espessura ($ \Delta t Deàçã \epsilon_{\theta} $) considerando que a mudança na espessura é inversamente proporcional à deformação na circunferência. A relação é:
epsilontheta
Substituindo $ \epsilon_{\theta} $ pela fórmula anterior:
De

Passo 6

Agora, vamos substituir a fórmula da tensão circumferencial ($ \sigma_{\theta} $) na expressão de $ \Delta t $:
sigmatheta
Perceba que o $ t $ cancela, o que simplifica bastante a nossa vida!

Passo 7

Vamos agora substituir os valores fornecidos na fórmula:
De
Onde:
  • $ p = 1 $ MPa = $ 1 \times 10^6 $ Pa
  • $ r = 100 $ mm = $ 0,1 $ m
  • $ E = 200 $ GPa = $ 200 \times 10^9 $ Pa
Substituindo:
p = 1

Passo 8

Convertendo o resultado para milímetros para facilitar a interpretação:
De

Resposta

A variação da espessura do tubo é de aproximadamente $ 0{,}0005 $ mm.

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