Um tubo de parede fina com raio interno
e espessura de parede
é submetido à pressão uniforme
. O material de que é feito o tubo tem módulo de Young
e coeficiente de Poisson
. Pede-se:
Sendo
e
, calcule a variação da espessura deste tubo;
Sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo com uma parede bem fina, com raio interno de $ r = 100 $ mm e uma espessura de parede $ t $. Esse tubo está sendo pressionado de maneira uniforme com uma pressão $ p = 1 $ MPa. O material do tubo tem um Módulo de Young $ E = 200 $ GPa e um coeficiente de Poisson $ \nu = 0,3 $. Nosso objetivo aqui é calcular como a espessura do tubo vai mudar por causa dessa pressão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados a tubos submetidos a pressões internas e às propriedades dos materiais elásticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a pressão interna afeta o tubo. Quando uma pressão como a $ p $ age de dentro para fora, ela cria tensões no material do tubo. Essas tensões vão fazer com que o tubo se deforme, ou seja, mude suas dimensões originais. Para tubos de parede fina, que é o nosso caso, a espessura $ t $ é bem menor que o raio $ r $, então podemos simplificar os cálculos assumindo que as tensões na parede são uniformes.
Passo 3
Vamos calcular a tensão circumferencial ($ \sigma_{\theta} $) no tubo devido à pressão interna. A tensão circumferencial, também conhecida como tensão tangencial, é a principal tensão que atua ao redor do tubo. A fórmula para a tensão circumferencial em um tubo de parede fina é:
Aqui, $ p $ é a pressão interna, $ r $ é o raio interno, e $ t $ é a espessura da parede.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a deformação na espessura do tubo causada por essa tensão. Para isso, usamos a relação entre tensão e deformação, que vem do Módulo de Young ($ E
\nu
\epsilon $) na direção da tensão é dada por:
Como o tubo está sendo submetido apenas à pressão interna, a tensão radial ($ \sigma_{r} $) é bem pequena comparada à tensão circumferencial e pode ser desprezada em tubos de parede fina. Assim, a fórmula simplifica para:
Passo 5
A deformação na espessura ($ \Delta t
\epsilon_{\theta} $) considerando que a mudança na espessura é inversamente proporcional à deformação na circunferência. A relação é:
Substituindo $ \epsilon_{\theta} $ pela fórmula anterior:
Passo 6
Agora, vamos substituir a fórmula da tensão circumferencial ($ \sigma_{\theta} $) na expressão de $ \Delta t $:
Perceba que o $ t $ cancela, o que simplifica bastante a nossa vida!
Passo 7
Vamos agora substituir os valores fornecidos na fórmula:
Onde:
- $ p = 1 $ MPa = $ 1 \times 10^6 $ Pa
- $ r = 100 $ mm = $ 0,1 $ m
- $ E = 200 $ GPa = $ 200 \times 10^9 $ Pa
Substituindo:
Passo 8
Convertendo o resultado para milímetros para facilitar a interpretação:
Resposta
A variação da espessura do tubo é de aproximadamente $ 0{,}0005 $ mm.