Um tubo de parede fina com raio interno
e espessura de parede
é submetido à pressão uniforme
. O material de que é feito o tubo tem módulo de Young
e coeficiente de Poisson
. Pede-se:
Deduza a expressão geral (literal) para a variação da espessura,
, em função de
e
;
Deduza a expressão geral (literal) para a variação da espessura,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo fininho com raio interno $ r $ e espessura de parede $ t $, que está sendo comprimido por uma pressão uniforme $ p $. O material do tubo tem um Módulo de Young $ E $ e um coeficiente de Poisson $ v $. O que a gente precisa fazer é descobrir como a espessura da parede $ t $ muda, ou seja, encontrar uma expressão para a variação da espessura $ \Delta t $ em função de $ p $, $ r $, $ E $ e $ v $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o tubo quando ele está sob pressão. A pressão externa tende a achatar o tubo, fazendo com que a espessura da parede diminua um pouco. Esse efeito depende das propriedades do material (como o Módulo de Young e o coeficiente de Poisson) e das dimensões do tubo (como o raio $ r $ e a espessura $ t $).
Passo 3
Vamos começar analisando as forças envolvidas. A pressão $ p $ exerce uma força perpendicular à superfície interna do tubo. Essa força força a parede do tubo a se deformar. A deformação na espessura $ t $ pode ser calculada usando a fórmula de deformação para materiais elásticos.
Passo 4
O Módulo de Young $ E $ é uma medida de quão rígido é o material. Ele relaciona a tensão (força por unidade de área) com a deformação (mudança relativa no comprimento). O coeficiente de Poisson $ v $ relaciona a deformação na direção perpendicular à força aplicada com a deformação na direção da força.
Passo 5
Para encontrar $ \Delta t $, a variação na espessura, podemos usar a seguinte relação da teoria da elasticidade:
Aqui, $ \Delta t $ é diretamente proporcional à pressão $ p $ e ao raio $ r $, e inversamente proporcional ao Módulo de Young $ E $ e à espessura $ t $. O termo $ (1 - v) $ leva em conta o efeito do coeficiente de Poisson.
Resposta
A variação da espessura da parede do tubo é dada por