Água escoa a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) em um tubo de 4 cm de diâmetro com vazão de 0,002 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine a tensão de cisalhamento, a velocidade máxima, a queda de pressão em 20 m , a espessura da camada viscosa e se a parede é lisa ou rugosa pressupondo que os elementos de rugosidade têm altura de 0,0015 \mathrm{~mm}. Use o perfil da lei das potências.
Passo 1
Enunciado, dados e o que se pede.
Dados fornecidos (copiados do enunciado): \mu=10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} (viscosidade absoluta à 20^\circ\mathrm{C}), diâmetro do tubo D=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}, vazão Q=0{,}002\\ \mathrm{m^{3}/s}, comprimento considerado L=20\\ \mathrm{m}, altura dos elementos de rugosidade \varepsilon=0{,}0015\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Perguntas (o que devemos determinar):
A tensão de cisalhamento na parede \tau_w.
A velocidade máxima do perfil (u_{\max}).
A queda de pressão no trecho de 20\\ \mathrm{m} (\Delta p).
A espessura da camada viscosa (subcamada viscosa) \delta_v.
Se a parede é lisa ou rugosa considerando \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Observações úteis (valores que vou usar sem perguntar): vou assumir a densidade da água a 20^\circ\mathrm{C} como \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão de tabela) e, portanto, a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho. A resolução usará o perfil da lei das potências (power-law) para relacionar u_{\max} com a velocidade média, e usarei uma correlação adequada para o fator de atrito em escoamento turbulento (ver passos seguintes).
Passo 2
Calcular a área da seção e a velocidade média \overline{u} (passo básico e necessário).
A área da seção circular é
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 6{,}35\cdot 10^{4} é bem maior que 4000, portanto o escoamento é turbulento — isso guia a escolha das correlações a usar.
Passo 4
Escolha do método para o fator de atrito e justificativa da lei das potências.
Para escoamento turbulento em tubos lisos ou levemente rugosos, uma correlação clássica é a de Blasius (válida aproximadamente para 4\times10^{3}<\mathrm{Re}<10^{5} e superfícies efetivamente lisas): \displaystyle f=0{,}079\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}. Vou usar essa correlação porque nosso \mathrm{Re} está no intervalo adequado e a rugosidade fornecida é muito pequena (ver análise da rugosidade depois).
Sobre o perfil da lei das potências: a forma usada será
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n},
onde R=D/2 é o raio e n é um expoente empírico. Para escoamentos turbulentos em tubos costuma-se usar a chamada “lei 1/7” que corresponde a n=7. Vou adotar n=7 (justificativa: valor clássico que aproxima bem perfis turbulentos em regime totalmente turbulento moderado). Aviso didático: essa lei é uma aproximação que funciona bem no centro do tubo, mas perde precisão muito perto da parede (não descreve corretamente a subcamada viscosa).
Passo 5
Calcular o fator de atrito f pela correlação de Blasius e explicar as variáveis.
A fórmula é
Interpretação: f é o fator de atrito de Darcy (adimensional) que relaciona perda de carga ao quadrado da velocidade.
Passo 6
Calcular a tensão de cisalhamento na parede \tau_w usando o fator de atrito e explicar a relação.
Relação entre \tau_w, f, \rho e \overline{u}:
\tau_w=\frac{f}{8}\,\rho\,\overline{u}^{2}.
Explicação: essa relação vem da definição do fator de atrito Darcy para escoamento interno: a perda de carga está ligada à tensão média na parede; é uma forma prática de obter \tau_w sem diferenciar o perfil que pode ser singular na borda. Agora substituindo os valores:
Comentário: não usei a derivada do perfil (que daria singularidade no caso do power-law) — por isso a fórmula com f é a maneira correta e prática.
Passo 7
Calcular a velocidade máxima u_{\max} a partir do perfil da lei das potências (derivação passo a passo).
Queremos relacionar u_{\max} com \overline{u}. Começamos pela média em coordenadas radiais. Com \xi=r/R temos
Comentário didático: a lei das potências dá uma razão simples entre u_{\max} e \overline{u} que depende apenas do expoente n. Escolhemos n=7 (lei 1/7) por ser clássico para turbulência interna moderada.
Passo 8
Calcular a queda de pressão no trecho de 20\\ \mathrm{m} usando f (passo a passo e explicação).
A perda de pressão numa tubulação retilínea é
\Delta p = f\frac{L}{D}\cdot\frac{1}{2}\rho\overline{u}^{2}.
Aqui L=20\\ \mathrm{m} e D=0{,}04\\ \mathrm{m}, então L/D=500. Já calculamos \tfrac{1}{2}\rho\overline{u}^{2}= \tfrac{1}{2}\cdot 998\cdot 2{,}53303=1263{,}98\\ \mathrm{Pa}. Portanto
\Delta p =0{,}00498\cdot 500\cdot 1263{,}98\approx 3148\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 3{,}15\\ \mathrm{kPa}).
Verificação alternativa (consistência): também vale \Delta p/L = 2\tau_w/R e multiplicando por L dá \Delta p semelhante, o que confirma o cálculo.
Passo 9
Calcular a espessura da subcamada viscosa \delta_v e a velocidade de atrito u_*.
Definições e fórmulas:
u_*=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}\quad\text{(velocidade de atrito)}.
Substituindo \tau_w\approx 1{,}572\\ \mathrm{Pa} e \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}},
Explicação: a subcamada viscosa tem espessura típica algumas unidades de \nu/u_*; esse fator 5 é uma estimativa clássica para dar uma ordem de grandeza.
Passo 10
Decidir se a parede é lisa ou rugosa usando a rugosidade adimensional \varepsilon^{+} e explicar.
Definimos a rugosidade adimensional
\varepsilon^{+}=\frac{\varepsilon\,u_*}{\nu}.
Substituindo \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}, u_*=0{,}0397\\ \mathrm{m/s} e \nu=1{,}002\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},
Regra prática: se \varepsilon^{+}\lesssim 5 a parede é hidraulicamente lisa; para \varepsilon^{+}\gtrsim 70 é totalmente rugosa; valores intermediários indicam transição. Como \varepsilon^{+}\approx 0{,}0594 \ll 5, a parede é considerada lisa hidraulicamente. Conclusão coerente com a escolha da correlação de Blasius no Passo 4.
Passo 11
Observações finais didáticas (muito curtas e úteis).
Note que a lei das potências é uma aproximação do perfil médio; ela não descreve corretamente a região imediatamente adjacente à parede (subcamada viscosa), e por isso não se obtém \tau_w dérivando diretamente o perfil (a derivada no muro daria singularidade para esta forma). Por isso usamos o fator de atrito empírico para obter \tau_w.
Todos os cálculos estão consistentes: \Delta p obtida por f(L/D)(\tfrac12\rho\overline{u}^2) confere numericamente com \Delta p = (2\tau_w/R)L.
Resposta
\tau_w\approx 1{,}57\\ \mathrm{Pa} u_{\max}\approx 1{,}95\\ \mathrm{m/s} \Delta p em 20\\ \mathrm{m}\approx 3148\\ \mathrm{Pa} (≈ 3{,}15\\ \mathrm{kPa}) \delta_v\approx 1{,}26\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} (=0{,}126\\ \mathrm{mm})
Parede: hidraulicamente lisa (pois \varepsilon^{+}\approx 0{,}0594 \ll 5).