Água escoa a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) em um tubo de 4 cm de diâmetro com vazão de 0,002 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine a tensão de cisalhamento, a velocidade máxima, a queda de pressão em 20 m , a espessura da camada viscosa e se a parede é lisa ou rugosa pressupondo que os elementos de rugosidade têm altura de 0,0015 \mathrm{~mm}. Use o perfil da lei das potências.

Passo 1

Enunciado, dados e o que se pede.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\mu=10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} (viscosidade absoluta à 20^\circ\mathrm{C}), diâmetro do tubo D=4\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}, vazão Q=0{,}002\\ \mathrm{m^{3}/s}, comprimento considerado L=20\\ \mathrm{m}, altura dos elementos de rugosidade \varepsilon=0{,}0015\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Perguntas (o que devemos determinar):
  1. A tensão de cisalhamento na parede \tau_w.
  2. A velocidade máxima do perfil (u_{\max}).
  3. A queda de pressão no trecho de 20\\ \mathrm{m} ( \Delta p).
  4. A espessura da camada viscosa (subcamada viscosa) \delta_v.
  5. Se a parede é lisa ou rugosa considerando \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Observações úteis (valores que vou usar sem perguntar): vou assumir a densidade da água a 20^\circ\mathrm{C} como \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão de tabela) e, portanto, a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho. A resolução usará o perfil da lei das potências (power-law) para relacionar u_{\max} com a velocidade média, e usarei uma correlação adequada para o fator de atrito em escoamento turbulento (ver passos seguintes).

Passo 2

Calcular a área da seção e a velocidade média \overline{u} (passo básico e necessário).
A área da seção circular é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}04\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0{,}04)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0004\\ \mathrm{m^{2}}=0{,}00125663706\\ \mathrm{m^{2}}.
A velocidade média \overline{u} vem de Q=A\overline{u}, logo
\overline{u}=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}002}{0{,}00125663706}=1{,}59154943\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: a vazão volumétrica divide-se pela área para obter a velocidade média; isso é mecânica de fluidos básica.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para saber o regime de fluxo.
O número de Reynolds é definido por
\mathrm{Re}=\frac{\rho \overline{u} D}{\mu}.
Com \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \overline{u}=1{,}59155\\ \mathrm{m/s}, D=0{,}04\\ \mathrm{m} e \mu=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
\mathrm{Re}=\frac{998\cdot 1{,}59154943\cdot 0{,}04}{10^{-3}} \approx 6{,}35\times 10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 6{,}35\cdot 10^{4} é bem maior que 4000, portanto o escoamento é turbulento — isso guia a escolha das correlações a usar.

Passo 4

Escolha do método para o fator de atrito e justificativa da lei das potências.
  • Para escoamento turbulento em tubos lisos ou levemente rugosos, uma correlação clássica é a de Blasius (válida aproximadamente para 4\times10^{3}<\mathrm{Re}<10^{5} e superfícies efetivamente lisas): \displaystyle f=0{,}079\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}. Vou usar essa correlação porque nosso \mathrm{Re} está no intervalo adequado e a rugosidade fornecida é muito pequena (ver análise da rugosidade depois).
  • Sobre o perfil da lei das potências: a forma usada será
u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n},
onde R=D/2 é o raio e n é um expoente empírico. Para escoamentos turbulentos em tubos costuma-se usar a chamada “lei 1/7” que corresponde a n=7. Vou adotar n=7 (justificativa: valor clássico que aproxima bem perfis turbulentos em regime totalmente turbulento moderado). Aviso didático: essa lei é uma aproximação que funciona bem no centro do tubo, mas perde precisão muito perto da parede (não descreve corretamente a subcamada viscosa).

Passo 5

Calcular o fator de atrito f pela correlação de Blasius e explicar as variáveis.
A fórmula é
f=0{,}079\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Substituindo \mathrm{Re}=6{,}3536\times 10^{4},
f=0{,}079\cdot(6{,}3536\times 10^{4})^{-0{,}25}\approx 0{,}00498.
Interpretação: f é o fator de atrito de Darcy (adimensional) que relaciona perda de carga ao quadrado da velocidade.

Passo 6

Calcular a tensão de cisalhamento na parede \tau_w usando o fator de atrito e explicar a relação.
Relação entre \tau_w, f, \rho e \overline{u}:
\tau_w=\frac{f}{8}\,\rho\,\overline{u}^{2}.
Explicação: essa relação vem da definição do fator de atrito Darcy para escoamento interno: a perda de carga está ligada à tensão média na parede; é uma forma prática de obter \tau_w sem diferenciar o perfil que pode ser singular na borda. Agora substituindo os valores:
\overline{u}^{2}=(1{,}59154943)^{2}=2{,}53303\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
\tau_w=\frac{0{,}00498}{8}\cdot 998\cdot 2{,}53303\approx 1{,}57\\ \mathrm{Pa}.
Comentário: não usei a derivada do perfil (que daria singularidade no caso do power-law) — por isso a fórmula com f é a maneira correta e prática.

Passo 7

Calcular a velocidade máxima u_{\max} a partir do perfil da lei das potências (derivação passo a passo).
Queremos relacionar u_{\max} com \overline{u}. Começamos pela média em coordenadas radiais. Com \xi=r/R temos
\overline{u}=\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr =2\int_{0}^{1} u_{\max}(1-\xi)^{1/n}\,\xi\,d\xi.
Fatorando u_{\max}:
\overline{u}=2u_{\max}\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{1/n}d\xi.
Calcular a integral analiticamente: usando integrais básicas,
\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{1/n}d\xi=\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
Logo
\overline{u}=2u_{\max}\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
Isolando u_{\max}:
u_{\max}=\frac{(n+1)(2n+1)}{2n^{2}}\,\overline{u}.
Usando n=7:
u_{\max}=\frac{(7+1)(2\cdot7+1)}{2\cdot 7^{2}}\,\overline{u} =\frac{8\cdot 15}{98}\,\overline{u}=\frac{120}{98}\,\overline{u}\approx 1{,}22449\,\overline{u}.
Substituindo \overline{u}=1{,}59155\\ \mathrm{m/s}:
u_{\max}\approx 1{,}22449\cdot 1{,}59155\approx 1{,}948\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a lei das potências dá uma razão simples entre u_{\max} e \overline{u} que depende apenas do expoente n. Escolhemos n=7 (lei 1/7) por ser clássico para turbulência interna moderada.

Passo 8

Calcular a queda de pressão no trecho de 20\\ \mathrm{m} usando f (passo a passo e explicação).
A perda de pressão numa tubulação retilínea é
\Delta p = f\frac{L}{D}\cdot\frac{1}{2}\rho\overline{u}^{2}.
Aqui L=20\\ \mathrm{m} e D=0{,}04\\ \mathrm{m}, então L/D=500. Já calculamos \tfrac{1}{2}\rho\overline{u}^{2}= \tfrac{1}{2}\cdot 998\cdot 2{,}53303=1263{,}98\\ \mathrm{Pa}. Portanto
\Delta p =0{,}00498\cdot 500\cdot 1263{,}98\approx 3148\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 3{,}15\\ \mathrm{kPa}).
Verificação alternativa (consistência): também vale \Delta p/L = 2\tau_w/R e multiplicando por L \Delta p semelhante, o que confirma o cálculo.

Passo 9

Calcular a espessura da subcamada viscosa \delta_v e a velocidade de atrito u_*.
Definições e fórmulas:
u_*=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}\quad\text{(velocidade de atrito)}.
Substituindo \tau_w\approx 1{,}572\\ \mathrm{Pa} e \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}},
u_*=\sqrt{\frac{1{,}572}{998}}\approx 0{,}0397\\ \mathrm{m/s}.
A espessura típica da subcamada viscosa (ordem de grandeza) pode ser estimada por
\delta_v\approx 5\,\frac{\nu}{u_*},
onde \nu=\mu/\rho. Calculando \nu:
\nu=\frac{10^{-3}}{998}\approx 1{,}002\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Logo
\delta_v\approx 5\cdot\frac{1{,}002\times 10^{-6}}{0{,}0397}\approx 1{,}26\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}126\\ \mathrm{mm}.
Explicação: a subcamada viscosa tem espessura típica algumas unidades de \nu/u_*; esse fator 5 é uma estimativa clássica para dar uma ordem de grandeza.

Passo 10

Decidir se a parede é lisa ou rugosa usando a rugosidade adimensional \varepsilon^{+} e explicar.
Definimos a rugosidade adimensional
\varepsilon^{+}=\frac{\varepsilon\,u_*}{\nu}.
Substituindo \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}, u_*=0{,}0397\\ \mathrm{m/s} e \nu=1{,}002\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\varepsilon^{+}=\frac{1{,}5\times 10^{-6}\cdot 0{,}0397}{1{,}002\times 10^{-6}}\approx 0{,}0594.
Regra prática: se \varepsilon^{+}\lesssim 5 a parede é hidraulicamente lisa; para \varepsilon^{+}\gtrsim 70 é totalmente rugosa; valores intermediários indicam transição. Como \varepsilon^{+}\approx 0{,}0594 \ll 5, a parede é considerada lisa hidraulicamente. Conclusão coerente com a escolha da correlação de Blasius no Passo 4.

Passo 11

Observações finais didáticas (muito curtas e úteis).
  • Note que a lei das potências é uma aproximação do perfil médio; ela não descreve corretamente a região imediatamente adjacente à parede (subcamada viscosa), e por isso não se obtém \tau_w dérivando diretamente o perfil (a derivada no muro daria singularidade para esta forma). Por isso usamos o fator de atrito empírico para obter \tau_w.
  • Todos os cálculos estão consistentes: \Delta p obtida por f(L/D)(\tfrac12\rho\overline{u}^2) confere numericamente com \Delta p = (2\tau_w/R)L.

Resposta

\tau_w\approx 1{,}57\\ \mathrm{Pa}
u_{\max}\approx 1{,}95\\ \mathrm{m/s}
\Delta p em 20\\ \mathrm{m}\approx 3148\\ \mathrm{Pa} (≈ 3{,}15\\ \mathrm{kPa})
\delta_v\approx 1{,}26\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} ( =0{,}126\\ \mathrm{mm})
Parede: hidraulicamente lisa (pois \varepsilon^{+}\approx 0{,}0594 \ll 5).

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