Um objeto de 2 cm de altura é colocado a certa distância de uma lente convergente. Sabendo-se que a distância focal da lente é 20 cm e que a imagem se forma a 50 cm da lente, do mesmo lado que o objeto, qual o tamanho da imagem? Resposta: 7,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o tamanho da imagem de um objeto. Dados fornecidos:
  • Altura do objeto: h_o = 2\\ \mathrm{cm}.
  • Distância focal da lente convergente: f = 20\\ \mathrm{cm}.
  • A imagem se forma a 50\\ \mathrm{cm} da lente, do mesmo lado que o objeto (essa informação vem do enunciado).
    A pergunta é: qual o tamanho (altura) da imagem h_i?

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e o que significam as variáveis (explicação didática, sem pular etapas).
  • A fórmula da lente fina (equação dos focos) relaciona distância focal f, distância do objeto d_o e distância da imagem d_i:
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}.
Aqui:
  • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente).
  • d_o é a distância do objeto à lente (tomamos positiva quando o objeto está na frente da lente, do lado de onde vem a luz).
  • d_i é a distância da imagem à lente (positiva para imagem real que se forma do outro lado da lente; negativa para imagem virtual que se forma do mesmo lado do objeto).
  • A ampliação (magnificação) relaciona alturas e distâncias:
m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}.
Explicação do sinal: se m é negativo, a imagem é invertida; se m é positivo, a imagem é direita (mesma orientação que o objeto). O fator |m| diz o quanto a imagem é maior ou menor que o objeto.

Passo 3

Aplicando a convenção de sinais ao nosso problema (uso da informação do enunciado):
  • A lente é convergente, então f = +20\\ \mathrm{cm}.
  • O enunciado diz que a imagem se forma a 50\\ \mathrm{cm} da lente, do mesmo lado que o objeto, portanto a imagem é virtual e usamos d_i = -50\\ \mathrm{cm} (negativo por estar no mesmo lado do objeto).
  • A distância do objeto d_o é desconhecida (esperamos encontrar), e a altura do objeto é h_o = +2\\ \mathrm{cm} (positiva, objeto em posição normal, ereto).

Passo 4

Usamos a equação da lente para encontrar d_o. Escrevemos:
\frac{1}{d_o} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_i}.
Substituindo f = 20\\ \mathrm{cm} e d_i = -50\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{d_o} = \frac{1}{20} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{20} + \frac{1}{50}.
Calculando com denominador comum 100:
\frac{1}{d_o} = \frac{5}{100} + \frac{2}{100} = \frac{7}{100}.
Logo
d_o = \frac{100}{7}\\ \mathrm{cm} \approx 14{,}2857\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora calculamos a ampliação m usando
m = -\frac{d_i}{d_o}.
Substituindo d_i = -50\\ \mathrm{cm} e d_o = \frac{100}{7}\\ \mathrm{cm}:
m = -\frac{-50}{100/7} = \frac{50}{100/7} = 50 \cdot \frac{7}{100} = \frac{350}{100} = 3{,}5.
Interpretação: m>0 significa que a imagem é direita (não invertida) e |m|=3{,}5 significa que a imagem é 3{,}5 vezes maior que o objeto — isso é esperado para uma imagem virtual ampliada por uma lente convergente.

Passo 6

Finalmente obtemos a altura da imagem h_i pela relação h_i = m\,h_o. Substituindo m = 3{,}5 e h_o = 2\\ \mathrm{cm}:
h_i = 3{,}5 \times 2\\ \mathrm{cm} = 7{,}0\\ \mathrm{cm}.
Portanto a imagem tem altura 7{,}0\\ \mathrm{cm}. Força aí — deu certinho!

Resposta

7{,}0\\ \mathrm{cm}

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