1. Um tubo de vidro, com pó de cortiça espalhado no interior, possui um pistão móvel na extremidade. Provocamos vibrações longitudinais e alteramos a posição do pistão até que o pó de cortiça forme um padrão de nodos e antinodos (o pó forma montículos bem definidos nos nodos de pressão). Se conhecemos a freqüência f das vibrações longitudinais do bastão e a medida da distância média d entre dois antinodos sucessivos, podemos determinar a velocidade do som v no gás do tubo. Mostre que ela é dada por v=2 f d. Este procedimento constitui o Método de Kundt para determinar a velocidade do som em gases.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma relação entre elas:
  • Há um tubo com pó de cortiça no interior e um pistão móvel numa extremidade.
  • Provocamos vibrações longitudinais no tubo com frequência conhecida f.
  • Ajustamos o pistão até aparecer um padrão estacionário (nodos e antinodos) e medimos a distância média d entre dois antinodos sucessivos (o enunciado diz que o pó forma montículos bem definidos nos nodos de pressão).
    O que se pede: mostrar que a velocidade do som v no gás do tubo é dada por
v = 2 f d.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma bem simples):
  • Frequência f: é o número de oscilações por segundo; sua unidade é o hertz ( \mathrm{Hz}).
  • Comprimento de onda \lambda: é a distância, ao longo do espaço, entre dois pontos que estão em fase (por exemplo, entre dois cristas sucessivos de uma onda).
  • Velocidade de onda v: distância que a onda percorre por unidade de tempo. Para uma onda harmônica que se propaga, vale a relação conhecida
v = f \lambda.
Aqui v é a velocidade do som no meio, f a frequência, e \lambda o comprimento de onda. Essa fórmula é simplesmente a definição: em um segundo a onda completa f ciclos e cada ciclo ocupa uma distância \lambda, logo a distância percorrida por segundo é f\lambda.

Passo 3

Entendendo o padrão estacionário (standing wave) e a relação entre antinodos e \lambda:
  • Um padrão estacionário resulta da superposição de uma onda viajante e sua reflexão, formando posições fixas no espaço com amplitudes máximas (antinodos) e mínimas (nodos).
  • Na direção espacial, os antinodos (pontos de amplitude máxima) surgem em pontos separados regularmente.
    Vamos mostrar por que a distância entre dois antinodos sucessivos é \lambda/2.
Considere uma forma matemática simples para a variação espacial de uma onda estacionária de deslocamento longitudinal (apenas para motivar a posição dos máximos):
\text{deslocamento}(x,t)=A\cos(kx)\cos(\omega t),
onde A é a amplitude máxima, k é o número de onda e \omega é a frequência angular. Os antinodos espaciais ocorrem onde a amplitude espacial |\cos(kx)| é máxima, ou seja onde \cos(kx)=\pm1. Essas posições satisfazem
k x_n = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
As duas posições consecutivas de antinodo correspondem a n e n+1, logo a distância entre elas é
\Delta x = x_{n+1}-x_n = \frac{(n+1)\pi - n\pi}{k} = \frac{\pi}{k}.
Mas a relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda é
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo,
\Delta x = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{2\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{2}.
Portanto, a distância entre dois antinodos sucessivos é exatamente \lambda/2.
(Explicação em palavras: antinodos correspondem a pontos que estão a meia-onda espacial de distância entre si; entre um antinodo e o próximo existe meia repetição do padrão espacial.)

Passo 4

Aplicando a relação prática ao experimento:
  • O enunciado diz que a distância média medida entre dois antinodos sucessivos é d. Pelos argumentos do Passo 3, isso significa
d = \frac{\lambda}{2}.
  • Isolando \lambda obtemos
\lambda = 2 d.
  • Agora usamos a relação geral da velocidade de onda do Passo 2:
v = f \lambda.
Substituindo \lambda = 2 d obtemos
v = f\,(2 d) = 2 f d.

Passo 5

Interpretação experimental e comentário prático (rápido e motivador):
  • Na prática, mede-se d com uma régua (distância entre montículos de pó) e conhece-se f do excitador; com v=2fd obtém-se a velocidade do som no gás.
  • Esse é exatamente o Método de Kundt: o pó indica os locais fixos do padrão estacionário e a medição do espaçamento dá a metade do comprimento de onda, permitindo calcular v.
    Vai dar certo — é uma forma elegante e prática de medir a velocidade do som em gases!

Resposta

v=2 f d

Exercícios relacionados