- Um tubo de vidro, com pó de cortiça espalhado no interior, possui um pistão móvel na extremidade. Provocamos vibrações longitudinais e alteramos a posição do pistão até que o pó de cortiça forme um padrão de nodos e antinodos (o pó forma montículos bem definidos nos nodos de pressão). Se conhecemos a freqüência
das vibrações longitudinais do bastão e a medida da distância média
entre dois antinodos sucessivos, podemos determinar a velocidade do som
no gás do tubo. Mostre que ela é dada por
. Este procedimento constitui o Método de Kundt para determinar a velocidade do som em gases.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma relação entre elas:
- Há um tubo com pó de cortiça no interior e um pistão móvel numa extremidade.
- Provocamos vibrações longitudinais no tubo com frequência conhecida
. - Ajustamos o pistão até aparecer um padrão estacionário (nodos e antinodos) e medimos a distância média
entre dois antinodos sucessivos (o enunciado diz que o pó forma montículos bem definidos nos nodos de pressão).
O que se pede: mostrar que a velocidade do somno gás do tubo é dada por
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma bem simples):
- Frequência
: é o número de oscilações por segundo; sua unidade é o hertz ( ). - Comprimento de onda
: é a distância, ao longo do espaço, entre dois pontos que estão em fase (por exemplo, entre dois cristas sucessivos de uma onda). - Velocidade de onda
: distância que a onda percorre por unidade de tempo. Para uma onda harmônica que se propaga, vale a relação conhecida
Aqui
é a velocidade do som no meio,
a frequência, e
o comprimento de onda. Essa fórmula é simplesmente a definição: em um segundo a onda completa
ciclos e cada ciclo ocupa uma distância
, logo a distância percorrida por segundo é
.
Passo 3
Entendendo o padrão estacionário (standing wave) e a relação entre antinodos e
:
- Um padrão estacionário resulta da superposição de uma onda viajante e sua reflexão, formando posições fixas no espaço com amplitudes máximas (antinodos) e mínimas (nodos).
- Na direção espacial, os antinodos (pontos de amplitude máxima) surgem em pontos separados regularmente.
Vamos mostrar por que a distância entre dois antinodos sucessivos é.
Considere uma forma matemática simples para a variação espacial de uma onda estacionária de deslocamento longitudinal (apenas para motivar a posição dos máximos):
onde
é a amplitude máxima,
é o número de onda e
é a frequência angular. Os antinodos espaciais ocorrem onde a amplitude espacial
é máxima, ou seja onde
. Essas posições satisfazem
As duas posições consecutivas de antinodo correspondem a
e
, logo a distância entre elas é
Mas a relação entre número de onda
e comprimento de onda
é
Substituindo,
Portanto, a distância entre dois antinodos sucessivos é exatamente
.
(Explicação em palavras: antinodos correspondem a pontos que estão a meia-onda espacial de distância entre si; entre um antinodo e o próximo existe meia repetição do padrão espacial.)
Passo 4
Aplicando a relação prática ao experimento:
- O enunciado diz que a distância média medida entre dois antinodos sucessivos é
. Pelos argumentos do Passo 3, isso significa
- Isolando
obtemos
- Agora usamos a relação geral da velocidade de onda do Passo 2:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Interpretação experimental e comentário prático (rápido e motivador):
- Na prática, mede-se
com uma régua (distância entre montículos de pó) e conhece-se do excitador; com obtém-se a velocidade do som no gás. - Esse é exatamente o Método de Kundt: o pó indica os locais fixos do padrão estacionário e a medição do espaçamento dá a metade do comprimento de onda, permitindo calcular
.
Vai dar certo — é uma forma elegante e prática de medir a velocidade do som em gases!