O 5 \% dos tubos produzidos por certa fábrica são defeituosos. O tempo de vida T de um tubo defeituoso é uma v. a. exponencial com média 0,5 (anos), enquanto o tempo de vida T_{1} de um tubo não defeituoso é uma v. a. exponencial com média 2 (anos). Qual é a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure
No máximo 4 anos

Passo 1

O problema diz que temos uma fábrica cujos tubos podem ser defeituosos com probabilidade 0,05 ou não defeituosos com probabilidade 0,95.
  • Se o tubo for defeituoso, seu tempo de vida T é exponencial com média 0,5 ano, ou seja, taxa \lambda_{d}=1/0,5=2.
  • Se não for defeituoso, o tempo de vida T_{1} é exponencial com média 2 anos, taxa \lambda_{n}=1/2=0,5.
    Queremos a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure no máximo 4 anos.

Passo 2

Lembrando que, para uma variável exponencial de taxa \lambda, a função de sobrevivência é
P(\text{vida}>t)=e^{-\lambda t}
e a função de distribuição (CDF) é
P(\text{vida}\le t)=1-e^{-\lambda t}.

Passo 3

Usamos a lei da probabilidade total, condicionando se o tubo é defeituoso D ou não D^{c}:
P(\text{vida}\le4) = P(D)\,P(T\le4\mid D) \;+\; P(D^{c})\,P(T\le4\mid D^{c}).

Passo 4

Substituindo P(D)=0,05, P(D^{c})=0,95, e as CDFs exponenciais:
P(T\le4\mid D)=1-e^{-\lambda_{d}\,4}=1-e^{-2\cdot4}=1-e^{-8},
P(T\le4\mid D^{c})=1-e^{-\lambda_{n}\,4}=1-e^{-0,5\cdot4}=1-e^{-2}.
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P(\text{vida}\le4) =0,05\bigl(1-e^{-8}\bigr)+0,95\bigl(1-e^{-2}\bigr).

Passo 5

Bastapara calcular numericamente:
e^{-8}\approx0,000335,\quad e^{-2}\approx0,135335,
0,05(1-0,000335)+0,95(1-0,135335) \approx0,05\cdot0,999665+0,95\cdot0,864665 \approx0,049983+0,821432 \approx0,871415.

Resposta

A probabilidade de durar no máximo 4 anos é aproximadamente 0,8714.

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