O 5 \% dos tubos produzidos por certa fábrica são defeituosos. O tempo de vida T de um tubo defeituoso é uma v. a. exponencial com média 0,5 (anos), enquanto o tempo de vida T_{1} de um tubo não defeituoso é uma v. a. exponencial com média 2 (anos). Qual é a probabilidade de que um tubo escolhido ao acaso dure
Menos de 2 anos

Passo 1

Resumindo o enunciado: um tubo é defeituoso com probabilidade \;0,05; e, nesse caso, seu tempo de vida T é \text{Exp}(1/0,5). Se o tubo não é defeituoso (probabilidade \;0,95), seu tempo de vida T é \text{Exp}(1/2). Precisamos de \Pr(T<2), que obtém-se pelo Teorema da Probabilidade Total.

Passo 2

Calculemos as taxas dos exponenciais:
\lambda_{\text{def}} = \frac{1}{0,5} = 2, \qquad \lambda_{\text{nd}} = \frac{1}{2} = 0,5.

Passo 3

As probabilidades condicionais são
\Pr(T<2\mid\text{def}) = 1 - e^{-\lambda_{\text{def}}\cdot2} = 1 - e^{-4},
\Pr(T<2\mid\text{nd}) = 1 - e^{-\lambda_{\text{nd}}\cdot2} = 1 - e^{-1}.

Passo 4

Pela Probabilidade Total,
\Pr(T<2) = 0,05\;\Pr(T<2\mid\text{def}) + 0,95\;\Pr(T<2\mid\text{nd}).

Passo 5

Substituindo,
\Pr(T<2) = 0,05\,(1 - e^{-4}) + 0,95\,(1 - e^{-1}) = 1 - \bigl(0,05\,e^{-4} + 0,95\,e^{-1}\bigr).

Passo 6

Numericamente, e^{-4}\approx0,0183 e e^{-1}\approx0,3679, logo
0,05\,e^{-4}\approx0,000915, \quad 0,95\,e^{-1}\approx0,3495,
\Pr(T<2)\approx 1 - (0,000915 + 0,3495) \approx 0,6496.

Resposta

A probabilidade de que o tubo dure menos de 2 anos é aproximadamente 0,65.

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