Uma tubulação de 150 mm de diâmetro sofre uma redução para 75 mm . Se a velocidade na seção maior é de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual será a velocidade na seção menor, aplicando a Equação da Continuidade?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade na seção menor:
  • Diâmetro da seção maior: d_1 = 150\\ \text{mm}.
  • Diâmetro da seção menor: d_2 = 75\\ \text{mm}.
  • Velocidade na seção maior: v_1 = 1,2\\ \text{m/s}.
    O que se pede: encontrar a velocidade na seção menor v_2 aplicando a Equação da Continuidade.

Passo 2

Entendendo a Equação da Continuidade (a ideia por trás): para um fluxo incompressível e em regime permanente, o volume de fluido que entra por uma seção por unidade de tempo é igual ao volume que sai por outra seção por unidade de tempo. Isso se escreve como:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde:
  • A_1 é a área da seção transversal maior (módulo em \text{m}^2),
  • A_2 é a área da seção transversal menor,
  • v_1 é a velocidade média na seção 1 (em \text{m/s}),
  • v_2 é a velocidade média na seção 2 (o que queremos achar).
    Explicação: A v é o fluxo volumétrico (m³/s). Igualando os fluxos temos que a razão das velocidades é inversamente proporcional à razão das áreas.

Passo 3

Fórmula da área de um tubo circular e manipulação algébrica: a área de uma seção circular em função do diâmetro é
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo na continuidade:
\frac{\pi d_1^2}{4}\,v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4}\,v_2.
Os fatores iguais \pi/4 cancelam, ficando a relação simples
v_2 = v_1\frac{d_1^2}{d_2^2}.
Comentário didático: por isso é comum usar diretamente a razão dos quadrados dos diâmetros — não é necessário calcular as áreas explicitamente nem usar \pi.

Passo 4

Converter unidades (para ficar consistente) e calcular a razão dos diâmetros: os diâmetros dados em milímetros podem ser convertidos para metros, mas como usaremos uma razão de diâmetros a unidade se cancela. mesmo assim, para exemplificar:
d_1 = 150\\ \text{mm} = 0,150\\ \text{m},\qquad d_2 = 75\\ \text{mm} = 0,075\\ \text{m}.
Razão dos diâmetros:
\frac{d_1}{d_2} = \frac{150}{75} = 2.
Como aparece o quadrado na fórmula,
\frac{d_1^2}{d_2^2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 2^2 = 4.
Dica prática: dobrar o diâmetro aumenta a área por um fator de 2^2=4.

Passo 5

Calcular v_2 usando a relação obtida:
v_2 = v_1\frac{d_1^2}{d_2^2} = 1,2\cdot 4 = 4,8\\ \text{m/s}.
Verificação rápida de ordem de grandeza: a seção menor tem área 4 vezes menor, então a velocidade deve ser 4 vezes maior — faz sentido físico.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: a velocidade na seção reduzida fica mais alta porque o mesmo volume tem de passar por uma área menor. Em prova, basta lembrar da fórmula v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2 e fazer a razão dos diâmetros — converta unidades se necessário, mas elas normalmente se cancelam na razão.

Resposta

4,8\\ \text{m/s}

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