Por uma tubulaçāo de 25 cm de diâmetro interno transporta-se petrólea a 30 km de distância, com uma vazāo de 1000 m^3 /dia. Necessita-se aumentar a vazão em 200 m^3 / dia, conservando as mesmas pressōes de entrada e saída. Para isto, conecta-se entre os pontos da tubulação original, uma outra tubulaçāo paralela e de mesmo diâmetro. Determine o comprimento da tubulação conectada.
Dados:
l rho=920 kg / m^3 mu=0,5 kg / m s

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um óleo que está indo por uma tubulação de diâmetro interno D = 25 cm e comprimento L₁ = 30 km, com vazão Q₁ = 1000 m³/dia. Queremos aumentar a vazão em ΔQ = 200 m³/dia (então a vazão total passa a ser Qₜ = 1200 m³/dia), mas mantendo as mesmas pressões de entrada e saída. Pra isso, vamos ligar em paralelo, entre os mesmos extremos, outra tubulação de mesmo diâmetro D e queremos saber o comprimento L₂ dessa nova tubulação.
Conteúdo que vamos usar:
  • Mecânica dos fluidos – escoamento laminar em tubos
  • Lei de Darcy–Weisbach para perda de carga (ou variação de pressão)
  • Relação entre pressão, vazão e comprimento no regime laminar
O que precisamos: densidade ρ e viscosidade μ (já dão: ρ = 920 kg/m³, μ = 0,5 kg/(m·s)), identificar que o escoamento é laminar, usar a fórmula da perda de carga laminar e aplicar o conceito de tubos em paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o escoamento é laminar. A velocidade média no tubo original é
u1 ;=;Q1A,, A=pi D^24
Convertendo Q₁ para m³/s:
Q1 = 100086400;approx;1,1574times10^-2;m^3/s,
A = pi (0,25)^24;approx;0,0491;m^2,
u1approx1,1574times10^-20,0491approx0,236;m/s
O número de Reynolds é
$$\mathrm{Re}=\frac{\rho , u_1 , D}{\mu}
=\frac{920\cdot0{,}236\cdot0{,}25}{0{,}5}\approx109, $$
que é menor que 2300, logo estamos em regime laminar.

Passo 3

No regime laminar a variação de pressão entre entrada e saída de um tubo é dada por
De
Para a tubulação original:
De

Passo 4

Quando ligamos duas tubulações em paralelo, a mesma Δp vale para cada uma, e a vazão total é
Qt = Q1' + Q2',, De
Dessas igualdades de Δp vem
L1,Q1' = L2,Q2', tag2
E da soma das vazões:
Q1' + Q2' = Qt = 1200;m^3/dia, tag3

Passo 5

Também sabemos que a pressão do sistema após a adaptação continua sendo a mesma de antes, então podemos usar (1) pra substituir Δp em (2) e (3), mas fica muito mais simples usar uma forma de combinar as equações e obter diretamente L₂. Se fizermos a conta completa, chegamos a:
Qt = De
Substituindo, dá
L1,Q1l(1L1+1L2r)=Qt ;;Longrightarrow;; Q1l(1+L1L2r)=Qt ;;Longrightarrow;; L1L2=QtQ1-1 =12001000-1=0,2
Logo
L2 = L10,2 = 5,L1 = 5times30;km=150;km

Resposta

O comprimento da tubulação paralela deve ser
boxedL2 = 150;km,

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