Por uma tubulaçāo de 25 cm de diâmetro interno transporta-se petrólea a 30 km de distância, com uma vazāo de
/dia. Necessita-se aumentar a vazão em
dia, conservando as mesmas pressōes de entrada e saída. Para isto, conecta-se entre os pontos da tubulação original, uma outra tubulaçāo paralela e de mesmo diâmetro. Determine o comprimento da tubulação conectada.
Dados:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um óleo que está indo por uma tubulação de diâmetro interno D = 25 cm e comprimento L₁ = 30 km, com vazão Q₁ = 1000 m³/dia. Queremos aumentar a vazão em ΔQ = 200 m³/dia (então a vazão total passa a ser Qₜ = 1200 m³/dia), mas mantendo as mesmas pressões de entrada e saída. Pra isso, vamos ligar em paralelo, entre os mesmos extremos, outra tubulação de mesmo diâmetro D e queremos saber o comprimento L₂ dessa nova tubulação.
Conteúdo que vamos usar:
- Mecânica dos fluidos – escoamento laminar em tubos
- Lei de Darcy–Weisbach para perda de carga (ou variação de pressão)
- Relação entre pressão, vazão e comprimento no regime laminar
O que precisamos: densidade ρ e viscosidade μ (já dão: ρ = 920 kg/m³, μ = 0,5 kg/(m·s)), identificar que o escoamento é laminar, usar a fórmula da perda de carga laminar e aplicar o conceito de tubos em paralelo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o escoamento é laminar. A velocidade média no tubo original é
Convertendo Q₁ para m³/s:
O número de Reynolds é
$$\mathrm{Re}=\frac{\rho , u_1 , D}{\mu}
=\frac{920\cdot0{,}236\cdot0{,}25}{0{,}5}\approx109, $$
que é menor que 2300, logo estamos em regime laminar.
que é menor que 2300, logo estamos em regime laminar.
Passo 3
No regime laminar a variação de pressão entre entrada e saída de um tubo é dada por
Para a tubulação original:
Passo 4
Quando ligamos duas tubulações em paralelo, a mesma Δp vale para cada uma, e a vazão total é
Dessas igualdades de Δp vem
E da soma das vazões:
Passo 5
Também sabemos que a pressão do sistema após a adaptação continua sendo a mesma de antes, então podemos usar (1) pra substituir Δp em (2) e (3), mas fica muito mais simples usar uma forma de combinar as equações e obter diretamente L₂. Se fizermos a conta completa, chegamos a:
Substituindo, dá
Logo
Resposta
O comprimento da tubulação paralela deve ser