Uma tubulação de
transporta água entre dois reservatórios a uma vazâo de
. Uma estrada que passará pelo local onde a tubulação está obrigará a substituição desta tubulação por outra, fazendo com que o novo comprimento seja
. Você faz parte da equipe de engenheiros que está projetando a nova tubulação e já fará a substituição por um material melhor com
. Pede-se:
(1,5) (a) Qual deverá ser o diâmetro da nova tubulação de forma com que a vazão e a perda de carga total não se alterem (ou seja, que scjam equivalentes)? Caso o diâmetro encontrado nos cálculos seja diferente de um diâmetro comercial, você deverá apontar um diâmetro entre as seguintes possibilidades:
(1,5) (a) Qual deverá ser o diâmetro da nova tubulação de forma com que a vazão e a perda de carga total não se alterem (ou seja, que scjam equivalentes)? Caso o diâmetro encontrado nos cálculos seja diferente de um diâmetro comercial, você deverá apontar um diâmetro entre as seguintes possibilidades:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tubulação inicial com diâmetro
, comprimento
, e um coeficiente de rugosidade
. Essa tubulação transporta água com uma vazão de
. Devido à construção de uma estrada, precisamos substituir essa tubulação por uma nova com comprimento
e coeficiente de rugosidade
. Queremos encontrar o novo diâmetro
que mantenha a mesma vazão e perda de carga total. Para isso, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e a equação de continuidade para vazão.
Passo 2
Vamos começar convertendo todas as unidades para o Sistema Internacional. A vazão
é igual a
. O diâmetro inicial
é
.
Passo 3
A equação de Darcy-Weisbach para perda de carga (
) é:
Onde:
-
é o fator de atrito -
é o comprimento da tubulação -
é o diâmetro da tubulação -
é a velocidade da água -
é a aceleração da gravidade ( )
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da água na tubulação inicial. A equação de continuidade nos diz que:
Onde
é a área da seção transversal da tubulação,
. Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o fator de atrito
para a tubulação inicial. Podemos usar a equação de Manning ou de Darcy-Weisbach com a rugosidade fornecida, mas para simplificação, assumiremos que
é constante e semelhante para as duas tubulações.
Passo 6
A perda de carga total deve se manter constante na nova tubulação. Então, temos:
Como a vazão
não se altera, a velocidade
também não muda, portanto
. Simplificando:
Passo 7
Rearranjando para encontrar
:
Considerando que o material da nova tubulação tem coeficiente de rugosidade
comparado ao
da antiga tubulação, podemos assumir que o fator de atrito também aumenta na proporção. Assim:
Substituindo na equação de
:
Convertendo para milímetros:
Passo 8
Agora, precisamos escolher um diâmetro comercial mais próximo de
entre as opções fornecidas:
O diâmetro mais próximo de
é
, mas ainda está bem abaixo. No entanto, considerando as opções disponíveis,
é o próximo valor maior.
Resposta
O diâmetro da nova tubulação deve ser de 200 mm.