Uma tubulação de D=250 mm ; L=500 m c C=90 transporta água entre dois reservatórios a uma vazâo de 10 l / s. Uma estrada que passará pelo local onde a tubulação está obrigará a substituição desta tubulação por outra, fazendo com que o novo comprimento seja LN=2000 m. Você faz parte da equipe de engenheiros que está projetando a nova tubulação e já fará a substituição por um material melhor com CN=150. Pede-se:
(1,5) (a) Qual deverá ser o diâmetro da nova tubulação de forma com que a vazão e a perda de carga total não se alterem (ou seja, que scjam equivalentes)? Caso o diâmetro encontrado nos cálculos seja diferente de um diâmetro comercial, você deverá apontar um diâmetro entre as seguintes possibilidades:
50 mm ; 60 mm ; 100 mm ; 125 mm ; 150 mm ; 200 mm ; 250 mm ; 300 mm ; 350 mm ; 400 mm ; 450 mm ; 500 mm

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tubulação inicial com diâmetro , comprimento , e um coeficiente de rugosidade . Essa tubulação transporta água com uma vazão de . Devido à construção de uma estrada, precisamos substituir essa tubulação por uma nova com comprimento e coeficiente de rugosidade . Queremos encontrar o novo diâmetro que mantenha a mesma vazão e perda de carga total. Para isso, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e a equação de continuidade para vazão.

Passo 2

Vamos começar convertendo todas as unidades para o Sistema Internacional. A vazão é igual a . O diâmetro inicial é .

Passo 3

A equação de Darcy-Weisbach para perda de carga ( hf = f cdot LD cdot V^22g ) é:
Onde:
  • é o fator de atrito
  • é o comprimento da tubulação
  • é o diâmetro da tubulação
  • é a velocidade da água
  • é a aceleração da gravidade ( )

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da água na tubulação inicial. A equação de continuidade nos diz que:
Q = A cdot V
Onde V = QA = 4Qpi D^2 é a área da seção transversal da tubulação, V = 4 times 0,01pi times (0,25)^2 approx 0,040,1963 approx 0,204 , m/s . Rearranjando para :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o fator de atrito para a tubulação inicial. Podemos usar a equação de Manning ou de Darcy-Weisbach com a rugosidade fornecida, mas para simplificação, assumiremos que é constante e semelhante para as duas tubulações.

Passo 6

A perda de carga total deve se manter constante na nova tubulação. Então, temos:
f cdot LD cdot V^22g = fN cdot LNDN cdot VN^22g
Como a vazão f cdot LD = fN cdot LNDN não se altera, a velocidade também não muda, portanto . Simplificando:

Passo 7

Rearranjando para encontrar DN = D cdot fN cdot LNf cdot L :
fNf = CNC = 15090 = 53
Considerando que o material da nova tubulação tem coeficiente de rugosidade DN = 0,25 cdot 53 times 2000500 = 0,25 cdot 100001500 = 0,25 cdot 203 approx 1,666 , m comparado ao DN approx 1666 , mm da antiga tubulação, podemos assumir que o fator de atrito também aumenta na proporção. Assim:
Substituindo na equação de :
Convertendo para milímetros:

Passo 8

Agora, precisamos escolher um diâmetro comercial mais próximo de 50 , mm; 60 , mm; 100 , mm; 125 , mm; 150 , mm; 200 , mm; 250 , mm; 300 , mm; 350 , mm; 400 , mm; 450 , mm; 500 , mm entre as opções fornecidas:
O diâmetro mais próximo de é , mas ainda está bem abaixo. No entanto, considerando as opções disponíveis, é o próximo valor maior.

Resposta

O diâmetro da nova tubulação deve ser de 200 mm.

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