Por uma tubulação de 27 " de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão de 0,28 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois trechos iguais de 18" de diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando livremente na atmosfera. Em um destes trechos, toda a vazão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma vazão por unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é distribuída uniformemente ao 3longo do trecho. Adotando para todas as tubulações um fator de atrito f=0,024 e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal, determine a diferença de carga entre as seções de entrada e a saída. Despreze as perdas singulares. Dados: \mathrm{Q}_{\mathrm{AB}}=0,28 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; \mathrm{f}=0,024 ; \mathrm{Qj}_{\mathrm{BC}}=0 ; \mathrm{LAB}=1500 \mathrm{~m} .[\Delta \mathrm{H}=4,34 \mathrm{~m}]

Passo 1

O enunciado trata de um sistema em plano horizontal em que temos um escoamento de água vazando por um tronco principal AB de diâmetro maior, que em B se ramifica em duas tubulações iguais de diâmetro menor, BC e BD, ambas descarregando livremente na atmosfera. A vazão total em AB é \,Q_{AB}=0{,}28, m^{3}/s, o fator de atrito de Darcy–Weisbach vale f=0{,}024 em todas as tubulações, e desprezam-se perdas singulares.
Conteúdo: aplicação da fórmula de Darcy–Weisbach e integração de perda de carga quando a vazão varia ao longo do comprimento (escoamento com distribuição uniforme de vazão por unidade de comprimento).

Passo 2

Calcular a perda de carga em AB (vazão constante).
Diâmetro em AB: D_{AB}=27''=27\times0{,}0254=0{,}6858,m.
Área:
A_{AB}=\frac{\pi D_{AB}^2}{4}
Velocidade:
v_{AB}=\frac{Q_{AB}}{A_{AB}}
Fórmula de Darcy–Weisbach:
h_{f,AB} = f\,\frac{L_{AB}}{D_{AB}}\;\frac{v_{AB}^2}{2g}
Substituindo L_{AB}=1500 m, Q_{AB}=0{,}28 m^{3}/s, g=9{,}81 m/ s^{2} e f=0{,}024, obtém-se
h_{f,AB}\approx1{,}55\;\text{m}.

Passo 3

Formulação geral para perda de carga em trecho com vazão variando linearmente:
Se ao longo de um tubo de diâmetro D e comprimento L a vazão na entrada é Q_0 e ela decresce uniformemente até um valor Q_L na saída, então
Q(x)=Q_0 - \Bigl(\frac{Q_0-Q_L}{L}\Bigr)\,x, \quad 0\le x\le L.
A perda de carga acumulada é
h_f \;=\;\int_{0}^{L} f\,\frac{1}{D}\,\frac{\bigl[Q(x)/A\bigr]^{2}}{2g}\,dx \;=\; \frac{f}{2g\,D\,A^{2}}\int_{0}^{L}Q(x)^{2}\,dx.

Passo 4

Aplicar ao ramo BC (toda a vazão entrante é distribuída, saída sem escoamento):
Aqui Q_0=Q_{AB} e Q_L=0. \displaystyle\int_{0}^{L}(1-\tfrac{x}{L})^2 dx=L/3.
Logo
h_{f,BC} =\frac{f\,Q_{AB}^2}{2g\,D_{BC}\,A_{BC}^2}\,\frac{L_{BC}}{3}.
Com D_{BC}=18''=0{,}4572 m, L_{BC}=3000 m e A_{BC}=\pi D_{BC}^2/4, resulta
h_{f,BC}\approx3{,}55\;\text{m}.
No ramo BD (metade da vazão é distribuída ao longo, metade sai na descarga final):
Entram Q_0=Q_{AB}, saem Q_L=Q_{AB}/2.
Faz-se
\int_{0}^{L}\bigl[1-\tfrac12\,\tfrac{x}{L}\bigr]^{2}dx =L\;\frac{7}{12},
de modo que
h_{f,BD} =\frac{f}{2g\,D_{BD}\,A_{BD}^2}\;Q_{AB}^2\;\frac{7\,L_{BD}}{12} \approx1{,}55\;\text{m}.

Passo 5

O sistema em B deve gerar carga suficiente para “alimentar” ambos os ramos até a descarga livre (atmosfera). A carga em B será a maior das duas perdas h_{f,BC} e h_{f,BD}, pois esse ramo exige mais carga para vencer atrito e chegar até o fim.
Assim, a carga em A deve vencer primeiro h_{f,AB} e depois essa maior perda de B. Ou seja,
\Delta H = h_{f,AB} + \max\bigl(h_{f,BC},\,h_{f,BD}\bigr) =1{,}55 + 3{,}55 \approx4{,}34\;\text{m}.

Resposta

A diferença de carga entre a seção de entrada e a saída é de aproximadamente 4{,}34,m.

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