Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi^{\prime}(\nabla \cdot v)
Proponha uma simplificação da equação do movimento em coordenadas cartesianas e apresente as considerações adotadas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral de transporte de uma quantidade escalar \psi, combinando derivada temporal, advecção, geração interna, difusão e efeito de compressibilidade:
\frac{\partial \psi}{\partial t} + (v\cdot\nabla)\psi = \dot{\psi}_{G} + \delta\,(\nabla\cdot\nabla\psi) - \psi'\,(\nabla\cdot v).
O objetivo é reescrevê-la em coordenadas cartesianas e então propor hipóteses que permitam simplificá-la.

Passo 2

Expressamos todos os operadores em x,y,z:
\nabla = \hat{\mathbf{i}}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{j}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{k}}\frac{\partial}{\partial z},
v = u\,\hat{\mathbf{i}} + v\,\hat{\mathbf{j}} + w\,\hat{\mathbf{k}},
(v\cdot\nabla)\psi = u\frac{\partial\psi}{\partial x} + v\frac{\partial\psi}{\partial y} + w\frac{\partial\psi}{\partial z},
\nabla\cdot\nabla\psi = \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2},
\nabla\cdot v = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}.
Substituindo na equação original, obtemos
\frac{\partial \psi}{\partial t} + u\frac{\partial \psi}{\partial x} + v\frac{\partial \psi}{\partial y} + w\frac{\partial \psi}{\partial z} = \dot{\psi}_{G} + \delta\Bigl(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\Bigr) - \psi'\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Bigr).

Passo 3

Para simplificar, adotamos as seguintes hipóteses físicas comuns em problemas de advecção–difusão:
  1. Fluxo incompressível:
\nabla\cdot v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
  1. Coeficiente de difusão constante: \delta= constante.
  2. Ausência de geração interna: \dot{\psi}_{G}=0.
  3. Escoamento unidimensional ao longo de x com velocidade uniforme u=u_0, e sem variação em y,z.

Passo 4

Sob essas hipóteses, só restam os termos de advecção em x e difusão em x. A equação reduz-se a
\frac{\partial \psi}{\partial t} + u_{0}\,\frac{\partial \psi}{\partial x} = \delta\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}.

Resposta

A equação simplificada em 1D é
\frac{\partial \psi}{\partial t} + u_{0}\,\frac{\partial \psi}{\partial x} = \delta\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}},
adotando as hipóteses de fluxo incompressível, difusão constante, sem geração interna e escoamento unidimensional.

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