Uma tubulação de 0,30 m de diâmetro e 3,2 km de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície está a uma altura de 150 m , para outro reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m , conectando-se aos reservatórios em pontos situados 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instalase uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f=0,020 e que o rendimento da bomba seja 80%, determine:
a) a vazão original do sistema por gravidade;
b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 0,15 m^3 / s;
c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de mecânica dos fluidos onde uma tubulação com diâmetro de 0,30 m e 3,2 km de comprimento conecta dois reservatórios em altitudes diferentes. A primeira parte do exercício pede para determinar a vazão original do sistema apenas com a gravidade atuando. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como a equação de Bernoulli e a fórmula de perda de carga na tubulação devido ao atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as alturas envolvidas. O reservatório de partida está a 150 m de altitude, e a água sai 10 m abaixo da superfície, ou seja, a 140 m. O reservatório de chegada está a 120 m de altitude, e a água se conecta 10 m abaixo, chegando a 110 m. Portanto, a diferença de altura ( De) que a água precisa descer é de 140 m - 110 m = 30 m.

Passo 3

Agora, vamos calcular a perda de carga devido ao atrito na tubulação. Usamos a fórmula de Darcy-Weisbach:
hf = f cdot LD cdot v^22g
Onde:
  • $ h_f $ é a perda de carga
  • $ f $ é o fator de atrito (0,020)
  • $ L $ é o comprimento da tubulação (3,200 m)
  • $ D $ é o diâmetro da tubulação (0,30 m)
  • $ v $ é a velocidade da água
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)

Passo 4

Para encontrar a velocidade ( v), precisamos relacionar a perda de carga com a diferença de altura fornecida pela gravidade. A energia total fornecida pela gravidade deve igualar a soma da energia perdida por atrito:
De
Substituindo:
30 = 0,020 cdot 32000,30 cdot v^22 cdot 9,81
Resolvendo para v:
30 = 0,020 cdot 32000,30 cdot v^219,62
30 = 0,020 cdot 10666,67 cdot v^219,62
30 = 0,020 cdot 10666,67 cdot 0,051
30 = 10,8 cdot v^2
v^2 = 3010,8 approx 2,78
v approx raiz2,78 approx 1,67 , m/s

Passo 5

Finalmente, para encontrar a vazão ( Q), usamos a relação entre velocidade e área da seção transversal:
Q = A cdot v
Onde a área A é:
A = pi D^24 = pi (0,30)^24 approx 0,071 , m^2
Portanto:
Q = 0,071 cdot 1,67 approx 0,118 , m^3/s

Resposta

A vazão original do sistema por gravidade é aproximadamente 0,118 , m^3/s.

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