Uma tubulação de
de diâmetro e
de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície está a uma altura de 150 m , para outro reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m , conectando-se aos reservatórios em pontos situados 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instalase uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a
e que o rendimento da bomba seja 80%, determine:
a) a vazão original do sistema por gravidade;
b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de
;
c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora.
a) a vazão original do sistema por gravidade;
b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de
c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício de mecânica dos fluidos onde uma tubulação com diâmetro de 0,30 m e 3,2 km de comprimento conecta dois reservatórios em altitudes diferentes. A primeira parte do exercício pede para determinar a vazão original do sistema apenas com a gravidade atuando. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como a equação de Bernoulli e a fórmula de perda de carga na tubulação devido ao atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as alturas envolvidas. O reservatório de partida está a 150 m de altitude, e a água sai 10 m abaixo da superfície, ou seja, a 140 m. O reservatório de chegada está a 120 m de altitude, e a água se conecta 10 m abaixo, chegando a 110 m. Portanto, a diferença de altura (
) que a água precisa descer é de 140 m - 110 m = 30 m.
Passo 3
Agora, vamos calcular a perda de carga devido ao atrito na tubulação. Usamos a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
- $ h_f $ é a perda de carga
- $ f $ é o fator de atrito (0,020)
- $ L $ é o comprimento da tubulação (3,200 m)
- $ D $ é o diâmetro da tubulação (0,30 m)
- $ v $ é a velocidade da água
- $ g $ é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
Passo 4
Para encontrar a velocidade (
), precisamos relacionar a perda de carga com a diferença de altura fornecida pela gravidade. A energia total fornecida pela gravidade deve igualar a soma da energia perdida por atrito:
Substituindo:
Resolvendo para
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a vazão (
), usamos a relação entre velocidade e área da seção transversal:
Onde a área
é:
Portanto:
Resposta
A vazão original do sistema por gravidade é aproximadamente
.