Três canalizações novas de ferro fundido de 30 metros de comprimento cada uma e diâmetros de 300 \mathrm{~mm}, 250 \mathrm{~mm} e 200 mm , formam uma tubulação mista. A de maior diâmetro sai de um reservatório e a menor descarrega livremente no ar, sendo bruscas todas as mudanças de diâmetro. Calcular-Ihe a perda de carga total para \mathrm{Q}=192 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Usar Hazen-Williams ( \mathrm{C}=100 ) para o cálculo das perdas contínuas e a equação universal para as perdas de carga localizadas.

Considerar;

  • Entrada na canalização normal ( K=0,5 )
  • Contrações (K=0,15)
  • Saída da tubulação (K=1,0)
Escolha uma opção:
a. 9,7 \mathrm{mca}
b. 11,7 \mathrm{mca}
c. 13,7 \mathrm{mca}
d. 15,7 \mathrm{mca}
e. 17,7 \mathrm{mca}

Passo 1

O problema pede a perda de carga total (em metros de coluna d’água, mca) de uma tubulação formada por três trechos em série, cada um com comprimento 30 m e diâmetros diferentes, com vazão total fornecida. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Comprimentos: } L_1=L_2=L_3=30\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Diâmetros: } D_1=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m},\; D_2=250\\ \mathrm{mm}=0,250\\ \mathrm{m},\; D_3=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Vazão: } Q=192\\ \mathrm{L/s}=0,192\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{Hazen–Williams: } C=100,\\\ &\text{Perdas localizadas (usar equação universal): entrada } K_{\text{entrada}}=0,5,\\\ &\text{contrações (cada uma) } K_{\text{contração}}=0,15,\\\ &\text{saída } K_{\text{saída}}=1,0. \end{aligned}âãçãçõçãíí
O que devemos calcular: a perda de carga total (soma das perdas por atrito contínuas em cada trecho, calculadas por Hazen–Williams, mais as perdas localizadas dadas pelos K indicados usando a fórmula universal).

Passo 2

Primeiro calculamos as áreas transversais e as velocidades em cada trecho (isso é básico e essencial: velocidade é a vazão dividida pela área).
Fórmulas usadas:
A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad V=\frac{Q}{A}.
Cálculos:
Para D_1=0,300\\ \mathrm{m}:
A_1=\frac{\pi (0,300)^2}{4}=\pi\cdot 0,0225\approx 0,070686\\ \mathrm{m^2},
V_1=\frac{0,192}{0,070686}\approx 2,717\\ \mathrm{m/s}.
Para D_2=0,250\\ \mathrm{m}:
A_2=\frac{\pi (0,250)^2}{4}=\pi\cdot 0,015625\approx 0,049087\\ \mathrm{m^2},
V_2=\frac{0,192}{0,049087}\approx 3,912\\ \mathrm{m/s}.
Para D_3=0,200\\ \mathrm{m}:
A_3=\frac{\pi (0,200)^2}{4}=\pi\cdot 0,0100\approx 0,031416\\ \mathrm{m^2},
V_3=\frac{0,192}{0,031416}\approx 6,113\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: essas velocidades são consistentes com a redução dos diâmetros (mesmo Q passa por todas, então a velocidade aumenta quando o diâmetro diminui).

Passo 3

Agora calculamos as perdas por atrito contínuas em cada trecho com a fórmula de Hazen–Williams (forma prática em unidades SI para perda de carga em metros):
Fórmula:
h_f = 10,67\,\frac{L\,Q^{1,852}}{C^{1,852}\,D^{4,871}},
onde
  • h_f é a perda de carga no trecho (m),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno (m).
Explicação rápida: Hazen–Williams é uma fórmula empírica usada para água em tubulações; os expoentes 1,852 e 4,871 vêm da forma empírica da equação e o coeficiente 10,67 ajusta as unidades (essa forma dá h_f em metros se L em metros, Q em m^3/s e D em metros).
Vamos calcular Q^{1,852} e C^{1,852} (valores usados para todos os trechos):
Q^{1,852}=(0,192)^{1,852}\approx 0,0471,\qquad C^{1,852}=100^{1,852}\approx 5\,060\\ (\text{aprox.}).
(usar aproximações é aceitável aqui; mantemos 3 casas significativas nas contas finais.)
Agora cada trecho (com L=30\\ \mathrm{m}):
Trecho 1 ( D_1=0,300\\ \mathrm{m}):
D_1^{4,871}\approx (0,300)^{4,871}\approx 0,00284,
h_{f1}=10,67\cdot\frac{30\cdot 0,0471}{5\,060\cdot 0,00284}\approx 1,05\\ \mathrm{m}.
Trecho 2 ( D_2=0,250\\ \mathrm{m}):
D_2^{4,871}\approx (0,250)^{4,871}\approx 0,00116,
h_{f2}=10,67\cdot\frac{30\cdot 0,0471}{5\,060\cdot 0,00116}\approx 2,57\\ \mathrm{m}.
Trecho 3 ( D_3=0,200\\ \mathrm{m}):
D_3^{4,871}\approx (0,200)^{4,871}\approx 0,000392,
h_{f3}=10,67\cdot\frac{30\cdot 0,0471}{5\,060\cdot 0,000392}\approx 7,60\\ \mathrm{m}.
Comentário: somando as perdas por atrito contínuas temos
h_{f,\text{total}}=h_{f1}+h_{f2}+h_{f3}\approx 1,05+2,57+7,60=11,22\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora as perdas localizadas. A equação universal (fórmula prática) é
h_L = K\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_L é a perda localizada (m),
  • K é o coeficiente adimensional da singularidade,
  • V é a velocidade na seção associada à perda (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
Observação sobre que velocidade usar:
  • Para entrada, usa-se a velocidade na tubulação (a primeira seção, V_1).
  • Para contrações o mais comum é usar a velocidade na seção menor (ou seja, a velocidade após a contração), então usamos V_2 para a primeira contração 300\to250 e V_3 para a segunda 250\to200.
  • Para saída livre usamos a velocidade do último trecho ( V_3).
Calculamos o termo dinâmico \dfrac{V^2}{2g} para cada velocidade:
Para V_1=2,717\\ \mathrm{m/s}:
\frac{V_1^2}{2g}=\frac{(2,717)^2}{2\cdot 9,81}=\frac{7,384}{19,62}\approx 0,3766\\ \mathrm{m}.
Para V_2=3,912\\ \mathrm{m/s}:
\frac{V_2^2}{2g}=\frac{(3,912)^2}{19,62}=\frac{15,30}{19,62}\approx 0,780\\ \mathrm{m}.
Para V_3=6,113\\ \mathrm{m/s}:
\frac{V_3^2}{2g}=\frac{(6,113)^2}{19,62}=\frac{37,37}{19,62}\approx 1,905\\ \mathrm{m}.
Agora as perdas localizadas com os K dados:
Entrada ( K=0,5, velocidade V_1):
h_{e}=0,5\cdot 0,3766\approx 0,188\\ \mathrm{m}.
Primeira contração 300\to250 ( K=0,15, usar V_2):
h_{c1}=0,15\cdot 0,780\approx 0,117\\ \mathrm{m}.
Segunda contração 250\to200 ( K=0,15, usar V_3):
h_{c2}=0,15\cdot 1,905\approx 0,286\\ \mathrm{m}.
Saída livre ( K=1,0, usar V_3):
h_{s}=1,0\cdot 1,905\approx 1,905\\ \mathrm{m}.
Somando as perdas localizadas:
h_{L,\text{total}}=h_{e}+h_{c1}+h_{c2}+h_{s}\approx 0,188+0,117+0,286+1,905=2,496\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora somamos as perdas contínuas por atrito e as perdas localizadas para obter a perda de carga total:
h_{\text{total}}=h_{f,\text{total}}+h_{L,\text{total}}\approx 11,22+2,496=13,716\\ \mathrm{m}.
Arredondando para uma casa decimal (como nas opções fornecidas), obtemos 13,7\\ \mathrm{mca}.
Comparando com as alternativas dadas, corresponde à alternativa (c).

Resposta

c. 13,7\\ \mathrm{mca}

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