Um tuho horizontal de 5,00 \mathrm{~cm} de raio tem uma redução suave para um tubo de 2,50 \mathrm{~cm} de raio. Se a pressão no tubo maior é 8,00 \times 10^{4} \mathrm{~Pa} e a pressão no tubo menor é 6,00 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}, qual é a velocidade da água no tubo menor? Dados: área de um círculo =\pi r^{2}; densidade da água =1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \cdot(2,0 pontos )

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • raio do tubo maior: r_1 = 5{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • raio do tubo menor: r_2 = 2{,}50\\ \mathrm{cm}.
  • pressão no tubo maior: P_1 = 8{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • pressão no tubo menor: P_2 = 6{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • densidade da água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • área de um círculo: =\pi r^{2}.
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade da água no tubo menor (ou seja, v_2, velocidade correspondente ao raio r_2).

Passo 2

Converter os raios de centímetros para metros (sempre trabalhar no SI):
r_1 = 5{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}0500\\ \mathrm{m}, \qquad r_2 = 2{,}50\\ \mathrm{cm} = 0{,}0250\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular as áreas transversais usando a fórmula fornecida \text{área}=\pi r^{2}á:
A_1 = \pi r_1^{2} = \pi (0{,}0500)^{2}, \qquad A_2 = \pi r_2^{2} = \pi (0{,}0250)^{2}.
Como \pi aparece em ambos, é mais prático trabalhar com a razão das áreas:
\frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^{2}}{\pi r_1^{2}} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{2} = \left(\frac{0{,}0250}{0{,}0500}\right)^{2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4} = 0{,}25.

Passo 4

Usar a conservação de massa (equação da continuidade) para fluidos incompressíveis em regime estacionário:
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Isto dá a relação entre as velocidades:
v_1 = \frac{A_2}{A_1} v_2 = 0{,}25\, v_2.
Interpretação rápida: a velocidade no trecho maior é quatro vezes menor que no trecho menor (faz sentido: área é quatro vezes maior).

Passo 5

Aplicar a equação de Bernoulli para um escoamento horizontal e sem perdas (como o enunciado sugere uma redução suave; portanto podemos usar Bernoulli entre as seções):
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
Aqui:
  • P_1,P_2 são as pressões nos trechos 1 e 2 (fornecidas),
  • \rho é a densidade (fornecida),
  • v_1,v_2 são as velocidades nas áreas A_1,A_2.

Passo 6

Substituir v_1 = 0{,}25\,v_2 na equação de Bernoulli e isolar v_2.
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho (0{,}25\,v_2)^{2} = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
Calcular o quadrado:
(0{,}25\,v_2)^{2} = 0{,}0625\,v_2^{2}.
Então
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho \cdot 0{,}0625\,v_2^{2} = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
Colocar os termos com v_2^{2} do mesmo lado:
P_1 - P_2 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}\bigl(1 - 0{,}0625\bigr).
Calcular 1-0{,}0625 = 0{,}9375. Portanto
P_1 - P_2 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}\cdot 0{,}9375.
Observação útil em frações: 0{,}9375 = \tfrac{15}{16}, então \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9375 = \tfrac{15}{32}.
Isolando v_2^{2}:
v_2^{2} = \frac{P_1 - P_2}{\tfrac{1}{2}\rho\cdot 0{,}9375} = \frac{P_1 - P_2}{\rho \cdot \tfrac{15}{32}} = \frac{32}{15}\cdot\frac{P_1-P_2}{\rho}.

Passo 7

Substituir numericamente P_1-P_2 e \rho:
P_1-P_2 = 8{,}00\times10^{4} - 6{,}00\times10^{4} = 2{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Então
v_2^{2} = \frac{32}{15}\cdot\frac{2{,}00\times10^{4}}{1000} = \frac{32}{15}\cdot 20 = \frac{640}{15} \approx 42{,}666\ldots

Passo 8

Tomar raiz quadrada para obter v_2:
v_2 = \sqrt{42{,}666\ldots}\approx 6{,}535\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos
v_2 \approx 6{,}54\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_2 = 6{,}54\\ \mathrm{m/s}

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