Um tuho horizontal de
de raio tem uma redução suave para um tubo de
de raio. Se a pressão no tubo maior é
e a pressão no tubo menor é
, qual é a velocidade da água no tubo menor? Dados: área de um círculo
; densidade da água
pontos
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- raio do tubo maior:
. - raio do tubo menor:
. - pressão no tubo maior:
. - pressão no tubo menor:
. - densidade da água:
. - área de um círculo:
.
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade da água no tubo menor (ou seja,
, velocidade correspondente ao raio ).
Passo 2
Converter os raios de centímetros para metros (sempre trabalhar no SI):
Passo 3
Calcular as áreas transversais usando a fórmula fornecida
:
Como
aparece em ambos, é mais prático trabalhar com a razão das áreas:
Passo 4
Usar a conservação de massa (equação da continuidade) para fluidos incompressíveis em regime estacionário:
Isto dá a relação entre as velocidades:
Interpretação rápida: a velocidade no trecho maior é quatro vezes menor que no trecho menor (faz sentido: área é quatro vezes maior).
Passo 5
Aplicar a equação de Bernoulli para um escoamento horizontal e sem perdas (como o enunciado sugere uma redução suave; portanto podemos usar Bernoulli entre as seções):
Aqui:
-
são as pressões nos trechos 1 e 2 (fornecidas), -
é a densidade (fornecida), -
são as velocidades nas áreas .
Passo 6
Substituir
na equação de Bernoulli e isolar
.
Calcular o quadrado:
Então
Colocar os termos com
do mesmo lado:
Calcular
. Portanto
Observação útil em frações:
, então
.
Isolando
:
Passo 7
Substituir numericamente
e
:
Então
Passo 8
Tomar raiz quadrada para obter
:
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados), obtemos