Seja unn mol de gás monoatômico ideal dentro de um recipiente que tem um pistão acoplado.
Se o gás sofre uma variação de temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C} à volume constante, quais são a variação da energia interna e o trahalho envolvidos no processo? (4,0 pontos)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas quantidades:
  • Um mol do gás monoatômico ideal: n=1\\ \text{mol}.
  • Processo a volume constante.
  • Variação de temperatura de 40^\circ\mathrm{C}. Como variação de temperatura em Celsius é igual em Kelvin, temos \Delta T=40\\ \mathrm{K}.
O que é pedido:
  • A variação da energia interna \Delta U do gás.
  • O trabalho W envolvido no processo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Para n mols,
U = n C_V T,
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}). Portanto, a variação de energia interna ao mudar a temperatura é
\Delta U = n C_V \Delta T.
  • Para um gás monoatômico ideal, cada átomo tem apenas as três graus de liberdade de translação. Pela equipartição de energia, cada grau contribui com \tfrac{1}{2}R por mol para a capacidade calorífica molar a volume constante. Logo
C_V = \frac{3}{2}R.
Aqui R é a constante universal dos gases, com valor aproximado R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \Delta U com os valores dados:
\Delta U = n C_V \Delta T = n\left(\frac{3}{2}R\right)\Delta T.
Substituindo n=1, R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e \Delta T=40\\ \mathrm{K}:
\Delta U = 1\cdot\frac{3}{2}\cdot 8,314\cdot 40.
Calcule passo a passo:
8,314\cdot 40 = 332,56,
\frac{3}{2}\cdot 332,56 = 1{,}5\cdot 332,56 = 498,84.
Portanto, numericamente,
\Delta U \approx 498,84\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma prática para a prova, pode-se escrever \Delta U \approx 499\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Cálculo do trabalho W:
  • Definição física do trabalho realizado por um gás em um processo quasistático:
W = \int P\,dV.
  • Em processo a volume constante, temos dV=0 durante todo o processo, logo a integral é zero. Alternativamente, W = P\Delta V e \Delta V=0 W=0.
Portanto
W = 0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Observação útil para a prova (primeira lei da termodinâmica):
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema. Como aqui W=0, segue que Q=\Delta U. Assim, o calor trocado foi igual a \approx 498,84\\ \mathrm{J}. (Isto é bônus conceitual — a pergunta pedia apenas \Delta U e W.)

Resposta

\Delta U = 498,84\\ \mathrm{J} \approx 499\\ \mathrm{J}
W = 0\\ \mathrm{J}

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