6.7 Uma turbina submersa extrai parte da energia cinética da corrente oceânica. Como a temperatura e a velocidade da água influenciam a potência produzida? Dica: expresse o termo da potência como sendo o produto da vazão mássica pelo trabalho específico.

Passo 1

O enunciado diz que uma turbina submersa retira parte da energia cinética de uma corrente oceânica e pergunta como a temperatura e a velocidade da água influenciam a potência produzida. O conteúdo aqui é balanço de energia para um escoamento de fluido e cálculo de potência hidráulica, usando vazão mássica e trabalho específico.

Passo 2

Vamos expressar a potência extraída pela turbina como o produto da vazão mássica pelo trabalho específico:
\dot{W} = \dot{m}\,w
onde \dot{W} é a potência, \dot{m} é a vazão mássica e w é o trabalho específico retirado do fluido.

Passo 3

O trabalho específico extraído corresponde à diferença de energia cinética por unidade de massa entre a entrada e a saída da turbina. Se V_{\text{in}} é a velocidade antes da turbina e V_{\text{out}} depois, então
w = \frac{V_{\text{in}}^2 - V_{\text{out}}^2}{2}.
No caso ideal, para estimar o potencial máximo, costuma-se tomar V_{\text{out}}\approx 0, ficando
w \approx \frac{V^2}{2},
onde V é a velocidade da corrente antes da turbina.

Passo 4

A vazão mássica \dot{m} é dada por
\dot{m} = \rho\,A\,V,
sendo \rho a densidade da água (que depende da temperatura), A a área atravessada pela corrente e V a velocidade.

Passo 5

Substituindo em \dot{W}=\dot{m}\,w:
\dot{W} = \bigl(\rho\,A\,V\bigr)\,\frac{V^2}{2} = \frac12\,\rho\,A\,V^3.

Passo 6

Dessa expressão vemos que:
  1. A potência cresce com o cubo da velocidade ( V^3). Ou seja, um pequeno aumento em V causa grande aumento em \dot{W}.
  2. A densidade \rho da água varia com a temperatura: água mais fria tem densidade maior, logo \dot{W} aumenta quando a temperatura diminui. Em águas mais quentes a densidade cai e a potência disponível diminui.

Resposta

A potência extraída é
\dot{W} = \frac12\,\rho\,A\,V^3,
portanto aumenta fortemente com a velocidade ( \propto V^3) e cresce com a densidade da água (maior em temperaturas mais baixas).

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