A turbina de vento tem um diâmetro de rotor de 40 m e uma eficiência de 40% para um vento de 15 m/s. Se a densidade do ar é ρ = 1,23 kg/m³, determine a velocidade média do ar que passa pelas pás.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma turbina de vento com diâmetro de rotor de 40 metros, eficiência de 40% quando o vento está a 15 m/s, e a densidade do ar é 1,23 kg/m³. A gente precisa descobrir qual é a velocidade média do ar que passa pelas pás da turbina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre energia do vento e como ela é convertida em energia pela turbina.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área varrida pelo rotor da turbina. Já que o rotor é circular, a área $ A $ é dada por:
A
Onde $ r $ é o raio da turbina. Como o diâmetro é 40 m, o raio $ r $ é metade disso:
A = pi r^2
Então, a área é:
r

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a potência extraída pelo vento ($ P $) pela turbina é dada por:
P
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do ar (1,23 kg/m³)
  • $ A $ é a área do rotor (400π m²)
  • $ V $ é a velocidade do vento (15 m/s)
  • $ C_p $ é o coeficiente de potência (eficiência da turbina, 0,4 ou 40%)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P = 12 times 1,23, kg/m^3 times 400pi, m^2 times (15, m/s)^3 times 0,4
Primeiro, calculamos $ V^3 $:
V^3
Então:
15^3 = 3375, m^3/s^3

Passo 5

Agora vamos multiplicar os números:
0,5 times 1,23 = 0,615
0,615 times 400 = 246
246 times pi approx 246 times 3,1416 approx 773,43
773,43 times 3375 approx 2.610.806,25
2.610.806,25 times 0,4 approx 1.044.322,5, W
Então, a potência extraída é aproximadamente 1.044.322,5 watts ou cerca de 1,044 megawatts.

Passo 6

Agora, para encontrar a velocidade média do ar que passa pelas pás, usamos a relação entre a potência, a massa de ar que passa e a diferença nas velocidades antes e depois da turbina. A fórmula simplificada para a velocidade média ($ V_{m} $) é:
Vm
Substituindo os valores:
Vm = V times (1 - Cp)^1/2
Calculando a raiz quadrada de 0,6:
Vm = 15, m/s times (1 - 0,4)^1/2 = 15, m/s times (0,6)^1/2
Então:
(0,6)^1/2 approx 0,7746

Resposta

A velocidade média do ar que passa pelas pás da turbina é aproximadamente 11,62 m/s.

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