De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em um sofá que possui apenas 3 lugares?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em um sofá que possui apenas 3 lugares?”\n
Informações dadas e supostas (tudo importante que precisamos): \n
Informações dadas e supostas (tudo importante que precisamos): \n
- Há
pessoas distintas (cada pessoa é diferente).\n - O sofá tem
lugares distintos (por exemplo: esquerda, centro, direita), ou seja, a ordem importa. \n - Queremos contar quantas disposições diferentes de pessoas nos
lugares são possíveis, escolhendo as pessoas dentre as sem repetições (uma pessoa por lugar).
Passo 2
Princípio básico que vamos usar (regra do produto, explicada devagar):\n
Se um processo é feito em etapas sucessivas e na etapa 1 há opções, na etapa 2 há
opções (dependendo da escolha anterior) e assim por diante, então o número total de resultados possíveis é o produto das opções de cada etapa:
.\n
Exemplo simples para entender: se tenho cadeiras e
pessoas diferentes
e
, para a primeira cadeira tenho
escolhas (ou
ou
) e, depois de escolher, para a segunda cadeira sobra
escolha. Pelo princípio do produto,
arranjos:
e
.
Se um processo é feito em etapas sucessivas e na etapa 1 há
Exemplo simples para entender: se tenho
Passo 3
Aplicando o princípio ao nosso problema, vamos pensar em preencher os lugares um por um:\n
- Para o primeiro lugar (esquerda) podemos escolher qualquer uma das
pessoas, então há opções.\n - Depois de escolher quem vai no primeiro lugar, restam
pessoas para o segundo lugar, então há opções para o segundo.\n - Depois disso, restam
pessoas para o terceiro lugar, então há opções para o terceiro.\n
Pelo princípio do produto, o número total de maneiras é
Passo 4
Calcule o produto passo a passo (sem pular etapas):\n
Portanto, pela contagem direta obtemos
maneiras.
Passo 5
Uma fórmula geral útil (que aparece frequentemente em provas) é a fórmula de arranjos/permissões: o número de maneiras de escolher e ordenar
objetos dentre
distintos é
onde
(lê-se "fatorial de
") é o produto
.\n
No nosso caso e
, então
No nosso caso
Passo 6
Compute o fatorial e a fração com calma:\n
Note que isso dá o mesmo resultado que o produto
do Passo 3 — são duas formas de ver a mesma ideia.
Passo 7
Alguns exemplos concretos para visualizar (rotulando as pessoas como
):\n
- Uma disposição possível é
— na esquerda, no centro, na direita.\n - Outra é
.\n - Outra é
.\n
Você pode ver que a ordem altera a disposição, por isso o número cresce rápido; no total háarranjos diferentes.