De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em um sofá que possui apenas 3 lugares?

Passo 1

O enunciado pede: “De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em um sofá que possui apenas 3 lugares?”\n
Informações dadas e supostas (tudo importante que precisamos): \n
  • 5 pessoas distintas (cada pessoa é diferente).\n
  • O sofá tem 3 lugares distintos (por exemplo: esquerda, centro, direita), ou seja, a ordem importa. \n
  • Queremos contar quantas disposições diferentes de pessoas nos 3 lugares são possíveis, escolhendo as pessoas dentre as 5 sem repetições (uma pessoa por lugar).

Passo 2

Princípio básico que vamos usar (regra do produto, explicada devagar):\n
Se um processo é feito em etapas sucessivas e na etapa 1 há a opções, na etapa 2 há b opções (dependendo da escolha anterior) e assim por diante, então o número total de resultados possíveis é o produto das opções de cada etapa: a\cdot b\cdot \dots.\n
Exemplo simples para entender: se tenho 2 cadeiras e 2 pessoas diferentes A e B, para a primeira cadeira tenho 2 escolhas (ou A ou B) e, depois de escolher, para a segunda cadeira sobra 1 escolha. Pelo princípio do produto, 2\cdot1=2 arranjos: (A,B) e (B,A).

Passo 3

Aplicando o princípio ao nosso problema, vamos pensar em preencher os lugares um por um:\n
  • Para o primeiro lugar (esquerda) podemos escolher qualquer uma das 5 pessoas, então há 5 opções.\n
  • Depois de escolher quem vai no primeiro lugar, restam 4 pessoas para o segundo lugar, então há 4 opções para o segundo.\n
  • Depois disso, restam 3 pessoas para o terceiro lugar, então há 3 opções para o terceiro.\n
    Pelo princípio do produto, o número total de maneiras é
5 \cdot 4 \cdot 3.

Passo 4

Calcule o produto passo a passo (sem pular etapas):\n
5\cdot4 = 20,
20\cdot3 = 60.
Portanto, pela contagem direta obtemos 60 maneiras.

Passo 5

Uma fórmula geral útil (que aparece frequentemente em provas) é a fórmula de arranjos/permissões: o número de maneiras de escolher e ordenar k objetos dentre n distintos é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se "fatorial de n") é o produto n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1.\n
No nosso caso n=5 e k=3, então
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}.

Passo 6

Compute o fatorial e a fração com calma:\n
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120,
2! = 2\cdot1 = 2,
\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60.
Note que isso dá o mesmo resultado que o produto 5\cdot4\cdot3 do Passo 3 — são duas formas de ver a mesma ideia.

Passo 7

Alguns exemplos concretos para visualizar (rotulando as pessoas como A,B,C,D,E):\n
  • Uma disposição possível é (A,B,C) A na esquerda, B no centro, C na direita.\n
  • Outra é (B,A,C).\n
  • Outra é (E,D,A).\n
    Você pode ver que a ordem altera a disposição, por isso o número cresce rápido; no total há 60 arranjos diferentes.

Resposta

60

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