Um restaurante oferece 2 entradas (sopa ou salada), 3 pratos principais (carne, peixe ou frango) e 2 sobremesas (bolo ou sorvete).
Represente os possíveis menus em um diagrama em árvore e indique quantos menus diferentes existem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas bem claras.
Informações fornecidas:
  • \;2 opções de entrada: \text{sopa} e \text{salada}.
  • \;3 opções de prato principal: \text{carne}, \text{peixe} e \text{frango}.
  • \;2 opções de sobremesa: \text{bolo} e \text{sorvete}.
O que o problema pede:
  1. Representar os possíveis menus em um diagrama em árvore.
  2. Indicar quantos menus diferentes existem no total.

Passo 2

O que é um diagrama em árvore aqui e como vamos montá‑lo (explicação didática, sem calcular ainda).
  • Pense no diagrama como decisões sequenciais: primeiro escolhe‑se a entrada, depois o prato, depois a sobremesa.
  • Cada nível da árvore corresponde a uma etapa de escolha: nível 1 = entrada, nível 2 = prato, nível 3 = sobremesa.
  • Para cada ramo (cada escolha feita) desenhamos todos os ramos possíveis seguintes. Assim, do nó “entrada = sopa” sairão três ramos (um para cada prato) e de cada ramo do prato sairão dois ramos (um para cada sobremesa).
  • No final, cada caminho raiz → folha representa um menu completo (entrada, prato, sobremesa).

Passo 3

Construindo a parte da árvore que começa com a entrada \text{sopa}.
  • Nível 1: escolher \text{sopa}.
  • Nível 2 (pratos possíveis a partir de \text{sopa}): \text{carne}, \text{peixe}, \text{frango}.
  • Nível 3 (para cada prato, as sobremesas possíveis): \text{bolo} e \text{sorvete}.
Listo agora os caminhos (menus) que partem de \text{sopa}. Cada menu escrevo como um triplo (\text{entrada},\text{prato},\text{sobremesa}):
(\text{sopa},\text{carne},\text{bolo}),\; (\text{sopa},\text{carne},\text{sorvete}),\; (\text{sopa},\text{peixe},\text{bolo}),\; (\text{sopa},\text{peixe},\text{sorvete}),\; (\text{sopa},\text{frango},\text{bolo}),\; (\text{sopa},\text{frango},\text{sorvete})
Observe: a partir de \text{sopa} obtivemos \;6 caminhos/menus (porque para cada um dos \;3 pratos há \;2 sobremesas, e 3\times2=6).

Passo 4

Construindo a parte da árvore que começa com a entrada \text{salada}.
  • Nível 1: escolher \text{salada}.
  • Nível 2 (pratos possíveis a partir de \text{salada}): \text{carne}, \text{peixe}, \text{frango}.
  • Nível 3 (sobremesas): \text{bolo} e \text{sorvete}.
Listo agora os caminhos (menus) que partem de \text{salada}:
(\text{salada},\text{carne},\text{bolo}),\; (\text{salada},\text{carne},\text{sorvete}),\; (\text{salada},\text{peixe},\text{bolo}),\; (\text{salada},\text{peixe},\text{sorvete}),\; (\text{salada},\text{frango},\text{bolo}),\; (\text{salada},\text{frango},\text{sorvete})
Novamente há \;6 menus partindo de \text{salada}.

Passo 5

Agora juntamos as duas partes da árvore e contamos todos os caminhos.
  • Visualmente, a árvore tem duas grandes ramificações no primeiro nível ( \text{sopa} e \text{salada}), cada uma com \;3 ramos para prato e cada ramo de prato com \;2 ramos para sobremesa.
  • Uma forma rápida e geral de contar caminhos em árvores de escolhas independentes é usar a regra do produto: multiplicar o número de opções de cada etapa.

Passo 6

Aplicando a regra do produto (aula rápida sobre ela).
  • A regra do produto diz: se você tem \;a maneiras de fazer a primeira escolha, e para cada uma delas tem \;b maneiras de fazer a segunda escolha, então há \;a\times b maneiras de fazer as duas escolhas em sequência.
  • Aqui temos três etapas independentes (entrada, prato, sobremesa) com \;2, \;3 e \;2 opções, respectivamente. Então o total de menus é calculado por:
2 \times 3 \times 2
Faço a multiplicação passo a passo para você poder fazer sem calculadora:
2 \times 3 = 6
6 \times 2 = 12

Passo 7

Checando coerência entre árvore e conta:
  • Listamos explicitamente todos os menus em \

Passo 8

  • Assim a árvore mostra visualmente cada um dos \;12 menus distintos e a multiplicação confirma o total.

Resposta

Diagrama em árvore (representação textual dos ramos e menus):\nEntrada \text{sopa}: (\text{sopa},\text{carne},\text{bolo}), (\text{sopa},\text{carne},\text{sorvete}), (\text{sopa},\text{peixe},\text{bolo}), (\text{sopa},\text{peixe},\text{sorvete}), (\text{sopa},\text{frango},\text{bolo}), (\text{sopa},\text{frango},\text{sorvete})\nEntrada \text{salada}: (\text{salada},\text{carne},\text{bolo}), (\text{salada},\text{carne},\text{sorvete}), (\text{salada},\text{peixe},\text{bolo}), (\text{salada},\text{peixe},\text{sorvete}), (\text{salada},\text{frango},\text{bolo}), (\text{salada},\text{frango},\text{sorvete})\nNúmero de menus diferentes: \;12

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