Considerando os pontos
,
e P como a interseção dos segmentos AB e CD, a expressão
, onde
é a área do triângulo APC e
é a área do triângulo BPD , é igual a
(a) 24 .
(b) 20 .
(c) 10 .
(d) 16 .
(e) 12 .
(a) 24 .
(b) 20 .
(c) 10 .
(d) 16 .
(e) 12 .
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos e pede uma expressão envolvendo áreas:
- Pontos:
, , , . -
é a interseção dos segmentos e . - Definições de áreas:
-
é a área do triângulo . -
é a área do triângulo .
-
- O que é pedido: calcular o valor da expressão
.
Passo 2
Encontrar as coordenadas de
como interseção das retas que contêm
e
.
Represento a reta
por parâmetro
:
Represento a reta
por parâmetro
:
Como
pertence a ambas, igualo as coordenadas:
Usando
na coordenada
:
Logo
é obtido substituindo
em
:
Passo 3
Explicar e aplicar a fórmula de área de um triângulo pelas coordenadas (fórmula do determinante / shoelace).
Fórmula (explicada): para um triângulo com vértices
,
,
, a área orientada é
A área geométrica (positiva) é o valor absoluto dessa expressão. Aqui:
-
são as coordenadas dos três vértices. - O fator
vem porque a fórmula é a metade do determinante formado pelas coordenadas (é análogo a base vezes altura dividido por 2, mas aplicado em coordenadas).
Vou aplicar essa fórmula para
, o triângulo
, com vértices
,
,
.
Calculo passo a passo os termos:
Somando os três termos:
Tomando o módulo e multiplicando por
:
Passo 4
Calcular
, a área do triângulo
, com vértices
,
,
, usando a mesma fórmula.
Calculo termo a termo:
Somando:
Área (valor absoluto e metade):
Passo 5
Calcular a expressão pedida
substituindo
e
: