Considerando os pontos \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,4), \mathrm{C}(1,5), \mathrm{D}(3,2) e P como a interseção dos segmentos AB e CD, a expressão 3 a+6 b, onde a é a área do triângulo APC e b é a área do triângulo BPD , é igual a
(a) 24 .
(b) 20 .
(c) 10 .
(d) 16 .
(e) 12 .

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos e pede uma expressão envolvendo áreas:
  • Pontos: \mathrm{A}(1,1), \mathrm{B}(3,4), \mathrm{C}(1,5), \mathrm{D}(3,2).
  • P é a interseção dos segmentos \mathrm{AB} e \mathrm{CD}.
  • Definições de áreas:
    • a é a área do triângulo \mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}.
    • b é a área do triângulo \mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{D}.
  • O que é pedido: calcular o valor da expressão 3a+6b.

Passo 2

Encontrar as coordenadas de P como interseção das retas que contêm \mathrm{AB} e \mathrm{CD}.
Represento a reta \mathrm{AB} por parâmetro t:
\text{Reta } \mathrm{AB}:\quad (x,y) = (1,1) + t\big( (3,4)-(1,1)\big) = (1+2t,\;1+3t).
Represento a reta \mathrm{CD} por parâmetro s:
\text{Reta } \mathrm{CD}:\quad (x,y) = (1,5) + s\big( (3,2)-(1,5)\big) = (1+2s,\;5-3s).
Como P pertence a ambas, igualo as coordenadas:
1+2t = 1+2s \quad\Rightarrow\quad 2t=2s \quad\Rightarrow\quad t=s.
Usando t=s na coordenada y:
1+3t = 5-3t \quad\Rightarrow\quad 6t=4 \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{2}{3}.
Logo P é obtido substituindo t=\tfrac{2}{3} em (1+2t,\,1+3t):
P=\Big(1+2\cdot\tfrac{2}{3},\;1+3\cdot\tfrac{2}{3}\Big)=\Big(\tfrac{7}{3},\;3\Big).

Passo 3

Explicar e aplicar a fórmula de área de um triângulo pelas coordenadas (fórmula do determinante / shoelace).
Fórmula (explicada): para um triângulo com vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), a área orientada é
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\big(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big).Á
A área geométrica (positiva) é o valor absoluto dessa expressão. Aqui:
  • x_i,y_i são as coordenadas dos três vértices.
  • O fator \tfrac{1}{2} vem porque a fórmula é a metade do determinante formado pelas coordenadas (é análogo a base vezes altura dividido por 2, mas aplicado em coordenadas).
Vou aplicar essa fórmula para a, o triângulo \mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{C}, com vértices \mathrm{A}(1,1), \mathrm{P}(\tfrac{7}{3},3), \mathrm{C}(1,5).
Calculo passo a passo os termos:
y_2-y_3 = 3-5 = -2 \quad\Rightarrow\quad x_1(y_2-y_3)=1\cdot(-2)=-2.
y_3-y_1 = 5-1 = 4 \quad\Rightarrow\quad x_2(y_3-y_1)=\tfrac{7}{3}\cdot 4=\tfrac{28}{3}.
y_1-y_2 = 1-3 = -2 \quad\Rightarrow\quad x_3(y_1-y_2)=1\cdot(-2)=-2.
Somando os três termos:
-2 + \tfrac{28}{3} -2 = -4 + \tfrac{28}{3} = \tfrac{16}{3}.
Tomando o módulo e multiplicando por \tfrac{1}{2}:
a = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{16}{3} = \tfrac{8}{3}.

Passo 4

Calcular b, a área do triângulo \mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{D}, com vértices \mathrm{B}(3,4), \mathrm{P}(\tfrac{7}{3},3), \mathrm{D}(3,2), usando a mesma fórmula.
Calculo termo a termo:
y_2-y_3 = 3-2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1(y_2-y_3)=3\cdot 1 = 3.
y_3-y_1 = 2-4 = -2 \quad\Rightarrow\quad x_2(y_3-y_1)=\tfrac{7}{3}\cdot(-2) = -\tfrac{14}{3}.
y_1-y_2 = 4-3 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_3(y_1-y_2)=3\cdot 1 = 3.
Somando:
3 - \tfrac{14}{3} + 3 = 6 - \tfrac{14}{3} = \tfrac{4}{3}.
Área (valor absoluto e metade):
b = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a expressão pedida 3a+6b substituindo a=\tfrac{8}{3} e b=\tfrac{2}{3}:
3a+6b = 3\cdot \tfrac{8}{3} + 6\cdot \tfrac{2}{3} = 8 + 4 = 12.

Resposta

12

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