Uma turma obteve as seguintes notas:
Notas [0--2[ [2--4[ [4--6[ [6--8[ [8--10[
Frequência 4 16 24 30 6
a) O professor da turma ofereceu bolsas para os 5\% melhores e um programa de reforço para os 8 \\% piores, Qual a menor nota dos bolsistas? Qual a maior nota dos 8 \\% piores?
b) Determine a nota média da turma e o desvio padrão.
c) O professor acrescentou 0,5 pontos a nota da prova de todos os alunos por um exercício extra resolvido por estes, determina nota média da turma e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de notas agrupadas em cinco intervalos com frequências e pede:
– (a) a menor nota entre os 5 % melhores (percentil 95) e a maior nota entre os 8 % piores (percentil 8);
– (b) a média e o desvio padrão da turma;
– (c) o efeito de somar 0,5 a todas as notas sobre a média e o desvio.

Passo 2

Vamos organizar os dados em tabela auxiliar:
Intervalo | Frequência f_i | Ponto médio m_i | m_i^2 |
[0–2[ | 4 | 1 | 1 |
[2–4[ | 16 | 3 | 9 |
[4–6[ | 24 | 5 | 25 |
[6–8[ | 30 | 7 | 49 |
[8–10[ | 6 | 9 | 81 |
Total de alunos
N = \sum f_i = 4 + 16 + 24 + 30 + 6 = 80.
Frequências acumuladas antes de cada classe:
– antes de [0–2[: F_0=0
– antes de [2–4[: F_1=4
– antes de [4–6[: F_2=4+16=20
– antes de [6–8[: F_3=20+24=44
– antes de [8–10[: F_4=44+30=74.
Todas as classes têm amplitude h=2.

Passo 3

Para achar a menor nota dos 5 % melhores usamos o percentil 95:
P_{95}=L_j + \frac{\tfrac{95}{100}N - F_{j-1}}{f_j}\,h,
onde \tfrac{95}{100}N=0{,}95\cdot80=76. O valor 76 cai na classe [8–10[, em que L_j=8, F_{j-1}=74, f_j=6. Logo
P_{95} =8 + \frac{76 - 74}{6}\cdot 2 =8 + \frac{2}{6}\cdot 2 =8 + 0,667 \approx 8,67.

Passo 4

Para achar a maior nota dos 8 % piores usamos o percentil 8:
P_{8}=L_k + \frac{\tfrac{8}{100}N - F_{k-1}}{f_k}\,h,
onde \tfrac{8}{100}N=0{,}08\cdot80=6,4. O valor 6,4 cai na classe [2–4[, em que L_k=2, F_{k-1}=4, f_k=16. Assim
P_{8} =2 + \frac{6,4 - 4}{16}\cdot 2 =2 + \frac{2,4}{16}\cdot 2 =2 + 0,30 =2,30.

Passo 5

Calculamos a média e o desvio padrão usando os pontos médios:
\bar x =\frac{1\cdot4 + 3\cdot16 + 5\cdot24 + 7\cdot30 + 9\cdot6}{80} =\frac{436}{80} =5,45.
Para o desvio padrão populacional,
\sigma^2 =\frac{\sum f_i m_i^2}{N} - \bar x^2 =\frac{4\cdot1 + 16\cdot9 + 24\cdot25 + 30\cdot49 + 6\cdot81}{80} - (5,45)^2 =\frac{2704}{80} - 29,7025 =33,80 - 29,7025 =4,0975,
\sigma=\sqrt{4,0975}\approx 2,02.

Passo 6

Se acrescentamos 0,5 a todas as notas, a média aumenta em 0,5 e o desvio padrão não muda.
\bar x' = 5,45 + 0,5 = 5,95, \quad \sigma' = 2,02.

Resposta

(a) Menor nota dos 5 % melhores: \approx 8,67. Maior nota dos 8 % piores: \approx 2,30.
(b) Média da turma: \bar x=5,45. Desvio padrão: \sigma\approx2,02.
(c) Com +0,5 pontos: nova média \bar x=5,95, desvio padrão \sigma=2,02.

Exercícios relacionados