Sabendo que
é solução da EDO:
Encontre a solução geral desta EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem
e informa que a função
é solução desta EDO. O que precisamos encontrar é a solução geral
dessa equação.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Objetivo: determinar a solução geral
da EDO.
Passo 2
Vou verificar se
é uma solução da EDO (isso é natural checar porque o enunciado destaca
). Para isso uso derivadas por regra da cadeia.
Calculemos as derivadas de
:
Agora substituímos em
:
Agrupando termos,
Portanto
satisfaz a EDO; isto é,
é uma solução.
Passo 3
Como a EDO é linear e homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão
: precisamos de duas soluções linearmente independentes
e
. Já temos
. Para obter a segunda solução independente usaremos o método de redução de ordem (ou a fórmula padrão para obter a segunda solução quando uma já é conhecida).
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
dividindo por
(válido porque
):
Aqui
e
.
Passo 4
Fórmula prática (redução de ordem): se
é uma solução da equação
, então uma segunda solução linearmente independente é
Explico rapidamente:
é o coeficiente do
na forma padrão; a quantidade
aparece ao eliminar derivadas extras ao assumir
e escolher uma condição que simplifica a equação para
. Não precisamos derivar todo o método aqui, apenas usar a fórmula com cuidado.
No nosso caso
, então
e portanto
Passo 5
Aplicando a fórmula com
:
Agora calculamos a integral. Faço a substituição
, de onde
, logo
. Assim
Sabemos que
, então
Tomando a primitiva sem a constante (qualquer constante resultará apenas em múltiplos da primeira solução), obtemos
Como
, isso simplifica para
Multiplicar por uma constante não-nula não altera a independência linear, então podemos escolher como segunda solução mais simples
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas instrutiva): podemos checar diretamente que
satisfaz a EDO calculando
e
e substituindo — os termos cancelam analogamente ao caso de
, confirmando que é solução.
Como
e
são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano não é identicamente zero para
), a solução geral da EDO é a combinação linear das duas.