Sabendo que y(t)-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) é solução da EDO:
t \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}+4 t^{3} y=0, t>0
Encontre a solução geral desta EDO.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem
t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-\frac{dy}{dt}+4t^{3}y=0,\qquad t>0,
e informa que a função y(t)-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) é solução desta EDO. O que precisamos encontrar é a solução geral y(t) dessa equação.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
\text{EDO: }t y''-y'+4t^{3}y=0,\quad t>0.
\text{Dado: }y(t)-\sin(t^{2})\\ \text{é solução (portanto a presença de }\sin(t^{2})\text{ é relevante).}éçãçé
Objetivo: determinar a solução geral y(t) da EDO.

Passo 2

Vou verificar se \sin(t^{2}) é uma solução da EDO (isso é natural checar porque o enunciado destaca \sin(t^{2})). Para isso uso derivadas por regra da cadeia.
Calculemos as derivadas de z(t)=\sin(t^{2}):
z'(t)=\frac{d}{dt}\sin(t^{2})=2t\cos(t^{2}),
z''(t)=\frac{d}{dt}\big(2t\cos(t^{2})\big)=2\cos(t^{2})+2t\cdot\big(-\sin(t^{2})\cdot 2t\big)=2\cos(t^{2})-4t^{2}\sin(t^{2}).
Agora substituímos em t z''-z'+4t^{3}z:
t z''-z'+4t^{3}z = t\big(2\cos(t^{2})-4t^{2}\sin(t^{2})\big)-2t\cos(t^{2})+4t^{3}\sin(t^{2}).
Agrupando termos,
=2t\cos(t^{2})-4t^{3}\sin(t^{2})-2t\cos(t^{2})+4t^{3}\sin(t^{2})=0.
Portanto \sin(t^{2}) satisfaz a EDO; isto é, \displaystyle y_{1}(t)=\sin(t^{2}) é uma solução.

Passo 3

Como a EDO é linear e homogênea de segunda ordem, o espaço de soluções tem dimensão 2: precisamos de duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2}. Já temos y_{1}(t)=\sin(t^{2}). Para obter a segunda solução independente usaremos o método de redução de ordem (ou a fórmula padrão para obter a segunda solução quando uma já é conhecida).
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y''+P(t)y'+Q(t)y=0 dividindo por t (válido porque t>0):
y''-\frac{1}{t}y'+4t^{2}y=0.
Aqui P(t)=-\dfrac{1}{t} e Q(t)=4t^{2}.

Passo 4

Fórmula prática (redução de ordem): se y_{1} é uma solução da equação y''+P(t)y'+Q(t)y=0, então uma segunda solução linearmente independente é
y_{2}(t)=y_{1}(t)\int \frac{\exp\!\big(-\int P(t)\,dt\big)}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.
Explico rapidamente: P(t) é o coeficiente do y' na forma padrão; a quantidade \exp(-\int P) aparece ao eliminar derivadas extras ao assumir y_{2}=v(t)y_{1}(t) e escolher uma condição que simplifica a equação para v'. Não precisamos derivar todo o método aqui, apenas usar a fórmula com cuidado.
No nosso caso P(t)=-\dfrac{1}{t}, então
-\int P(t)\,dt=-\int\left(-\frac{1}{t}\right)\,dt=\int\frac{1}{t}\,dt=\ln t,
e portanto
\exp\!\big(-\int P(t)\,dt\big)=\exp(\ln t)=t\quad(\text{para }t>0).

Passo 5

Aplicando a fórmula com y_{1}(t)=\sin(t^{2}):
y_{2}(t)=\sin(t^{2})\int \frac{t}{\sin^{2}(t^{2})}\,dt.
Agora calculamos a integral. Faço a substituição u=t^{2}, de onde du=2t\,dt, logo t\,dt=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{t}{\sin^{2}(t^{2})}\,dt=\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sin^{2}u}=\frac{1}{2}\int \csc^{2}u\,du.
Sabemos que \dfrac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u, então
\frac{1}{2}\int \csc^{2}u\,du=-\frac{1}{2}\cot u + C = -\frac{1}{2}\cot(t^{2})+C.
Tomando a primitiva sem a constante (qualquer constante resultará apenas em múltiplos da primeira solução), obtemos
y_{2}(t)=\sin(t^{2})\left(-\frac{1}{2}\cot(t^{2})\right)=-\frac{1}{2}\sin(t^{2})\cot(t^{2}).
Como \sin(t^{2})\cot(t^{2})=\cos(t^{2}), isso simplifica para
y_{2}(t)=-\frac{1}{2}\cos(t^{2}).
Multiplicar por uma constante não-nula não altera a independência linear, então podemos escolher como segunda solução mais simples
y_{2}(t)=\cos(t^{2}).

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas instrutiva): podemos checar diretamente que y_{2}(t)=\cos(t^{2}) satisfaz a EDO calculando y_{2}' e y_{2}'' e substituindo — os termos cancelam analogamente ao caso de \sin(t^{2}), confirmando que é solução.
Como \sin(t^{2}) e \cos(t^{2}) são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano não é identicamente zero para t>0), a solução geral da EDO é a combinação linear das duas.

Resposta

y(t)=C_{1}\sin(t^{2})+C_{2}\cos(t^{2}),\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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