Using a conventional two-slit apparatus and light that has a 589-\mathrm{nm} wavelength, 28 bright fringes per centimeter are observed near the center of a screen 3.00 m away. What is the slit separation? ssm

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 589\\ \mathrm{nm} = 589\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Número de franjas brilhantes por centímetro, perto do centro da tela: 28 franjas por 1\\ \mathrm{cm}.
  • Distância da fenda à tela: L = 3,00\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede: separação entre as fendas (slit separation), denotada por d.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para um arranjo de duas fendas, os máximos de interferência (franjas brilhantes) satisfazem a condição
d\sin\theta_m = m\lambda,
onde d é a separação entre fendas, \theta_m é o ângulo medido a partir do eixo central até o máximo de ordem m, m é um inteiro (0, \pm1, \pm2, …), e \lambda é o comprimento de onda.
  • Na tela, a posição vertical do máximo de ordem m em relação ao centro é y_m. Para telas distantes (geometria de pequenos ângulos) vale a aproximação
\sin\theta_m \approx \tan\theta_m \approx \frac{y_m}{L}.
Explicando: quando \theta é pequeno, o arco, o seno e a tangente são quase iguais; isso é válido aqui porque a tela está bem distante e as franjas ficam perto do centro.
  • Substituindo na condição de máximos:
d\frac{y_m}{L} \approx m\lambda \quad\Rightarrow\quad y_m \approx \frac{m\lambda L}{d}.
  • A distância entre duas franjas brilhantes adjacentes (o espaçamento de franja) é a diferença y_{m+1}-y_m. Usando a expressão acima:
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{\lambda L}{d}.
Portanto, a fórmula prática que relaciona o espaçamento de franjas \Delta y com d é
\Delta y = \frac{\lambda L}{d}.
Isso significa que, se conhecermos \Delta y, L e \lambda, podemos resolver para d isolando:
d = \frac{\lambda L}{\Delta y}.

Passo 3

Calcular o espaçamento entre franjas a partir de “28 franjas por centímetro”:
  • “28 franjas por centímetro” significa que em 1\\ \mathrm{cm} cabem 28 espaços entre centros de franjas adjacentes. Então
\Delta y = \frac{1\\ \mathrm{cm}}{28} = \frac{0,01\\ \mathrm{m}}{28}.
  • Calcule numericamente:
\Delta y = \frac{0,01}{28}\\ \mathrm{m} \approx 0,00035714\\ \mathrm{m} = 3,5714\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Reunir valores em unidades SI para substituir na fórmula:
  • \lambda = 589\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • L = 3,00\\ \mathrm{m}.
  • \Delta y = 3,5714\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular d pela fórmula d = \dfrac{\lambda L}{\Delta y}. Primeiro calcule o numerador \lambda L:
\lambda L = (589\times10^{-9})\times 3,00 = 1,767\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Agora divida por \Delta y:
d = \frac{1,767\times10^{-6}}{3,5714\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
d \approx 4,9476\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (consistência com os dados), obtemos
d \approx 4,95\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 4,95\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento: a separação entre as fendas é da ordem de alguns milímetros, o que é consistente com o fato de utilizar luz visível e uma tela a alguns metros. Você conseguiu — a ideia-chave para a prova é decorar a relação \Delta y=\lambda L/d e saber transformar “franjas por cm” em \Delta y.

Resposta

d = 4,95\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 4,95\\ \mathrm{mm}

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