(UF-RR) Dados os conjuntos A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid 9^{x^{2}+1} \leqslant 243^{1-x}\right\} e B=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}+6 x+9>0\right\}, o conjunto A - B é igual a: a) \varnothing b) \{-3\} c) \left[-3, \frac{1}{2}\right] d) ]-\infty,-3[\cup]-3,+\infty[ e) \left\{\frac{1}{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos:
  • A=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 9^{x^{2}+1}\leqslant 243^{1-x}\right\}.
  • B=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}+6x+9>0\right\}.
A pergunta é: qual é o conjunto A-B (ou seja, os elementos que estão em A e não estão em B)? Vou listar claramente as informações que tenho:
  • Na definição de A há uma desigualdade envolvendo potências com bases positivas.
  • Na definição de B há um polinômio quadrático que parece ser um quadrado perfeito.

Passo 2

Vamos analisar A. Primeiro, escrevemos as bases com a mesma base (aqui a base natural é 3, pois 9=3^{2} e 243=3^{5}). Isso facilita comparar as potências.
Escrevendo:
9^{x^{2}+1}=(3^{2})^{x^{2}+1}=3^{2(x^{2}+1)}
e
243^{1-x}=(3^{5})^{1-x}=3^{5(1-x)}.
Agora uma observação importante (aula rápida): a função t\mapsto 3^{t} é estritamente crescente porque a base 3>1. Isso significa que, para números reais u,v,
3^{u}\le 3^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u\le v.
Portanto podemos comparar os expoentes.

Passo 3

Aplicando a comparação dos expoentes obtemos a desigualdade equivalente:
2(x^{2}+1)\le 5(1-x).
Vamos desenvolver e organizar essa desigualdade passo a passo:
2x^{2}+2 \le 5 - 5x.
Passando tudo para o lado esquerdo:
2x^{2}+5x+2-5 \le 0
ou, simplificando,
2x^{2}+5x-3 \le 0.

Passo 4

Agora resolvemos a inequação quadrática \;2x^{2}+5x-3\le 0.
Primeiro encontramos as raízes da equação associada 2x^{2}+5x-3=0. O discriminante é
\Delta = 5^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.
As raízes são
x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm 7}{4}.
Isso dá as raízes
x_{1}=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad x_{2}=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}.
Como o coeficiente de x^{2} é 2>0, a parábola abre para cima, logo a desigualdade \le 0 é satisfeita para x entre as raízes, inclusive. Assim
A=\left[-3,\frac{1}{2}\right].

Passo 5

Agora analisamos B. Observando o polinômio:
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
A condição em B é (x+3)^{2}>0. Um quadrado real é sempre \ge 0 e só é igual a 0 quando x+3=0, isto é, quando x=-3. Portanto (x+3)^{2}>0 vale para todo x exceto x=-3. Logo
B=\mathbb{R}\setminus\{-3\} = (-\infty,-3)\cup(-3,\infty).

Passo 6

Queremos A-B, isto é, os elementos que estão em A e não estão em B. O complemento de B é \{-3\}, então
A-B = A\cap B^{c} = A\cap\{-3\}.
Como vimos em

Resposta

\{-3\}

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