(UF-RR) Dados os conjuntos
e
, o conjunto A - B é igual a: a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos:
-
. -
.
A pergunta é: qual é o conjunto
(ou seja, os elementos que estão em
e não estão em
)? Vou listar claramente as informações que tenho:
- Na definição de
há uma desigualdade envolvendo potências com bases positivas. - Na definição de
há um polinômio quadrático que parece ser um quadrado perfeito.
Passo 2
Vamos analisar
. Primeiro, escrevemos as bases com a mesma base (aqui a base natural é
, pois
e
). Isso facilita comparar as potências.
Escrevendo:
e
Agora uma observação importante (aula rápida): a função
é estritamente crescente porque a base
. Isso significa que, para números reais
,
Portanto podemos comparar os expoentes.
Passo 3
Aplicando a comparação dos expoentes obtemos a desigualdade equivalente:
Vamos desenvolver e organizar essa desigualdade passo a passo:
Passando tudo para o lado esquerdo:
ou, simplificando,
Passo 4
Agora resolvemos a inequação quadrática
.
Primeiro encontramos as raízes da equação associada
. O discriminante é
As raízes são
Isso dá as raízes
Como o coeficiente de
é
, a parábola abre para cima, logo a desigualdade
é satisfeita para
entre as raízes, inclusive. Assim
Passo 5
Agora analisamos
. Observando o polinômio:
A condição em
é
. Um quadrado real é sempre
e só é igual a
quando
, isto é, quando
. Portanto
vale para todo
exceto
. Logo
Passo 6
Queremos
, isto é, os elementos que estão em
e não estão em
. O complemento de
é
, então
Como vimos em