Se
e
, então
e
são LD. Prove isso.
Passo 1
O enunciado afirma que
e pede para mostrar que os vetores
e
são linearmente dependentes (LD).
O truque principal é observar que dois vetores são LD se, e somente se, o produto vetorial entre eles for o vetor nulo.
O truque principal é observar que dois vetores são LD se, e somente se, o produto vetorial entre eles for o vetor nulo.
Passo 2
Vamos então calcular o produto vetorial
Expandindo, usando a distributividade do produto vetorial, temos:
Passo 3
Agora usamos duas propriedades:
- As hipóteses do enunciado
e
. - A anticomutatividade do produto vetorial
.
Em particular
Substituindo tudo em
,
obtemos:
obtemos:
Passo 4
Como
segue que
e
são paralelos, isto é, linearmente dependentes.