Se u times v=w times t e u times w=v times t, então u-t e v-w são LD. Prove isso.

Passo 1

O enunciado afirma que
utimesv ;=;wtimest e utimesw ;=;vtimest,
e pede para mostrar que os vetores u-t e v-w são linearmente dependentes (LD).
O truque principal é observar que dois vetores são LD se, e somente se, o produto vetorial entre eles for o vetor nulo.

Passo 2

Vamos então calcular o produto vetorial
(u-t) times (v-w)
Expandindo, usando a distributividade do produto vetorial, temos:
(u-t) times (v-w) =; utimesv ;-;utimesw ;-;ttimesv ;+;ttimesw

Passo 3

Agora usamos duas propriedades:
  1. As hipóteses do enunciado
    utimesv=wtimest e
    utimesw=vtimest.
  2. A anticomutatividade do produto vetorial
    atimesb=-,btimesa.
Em particular
-,ttimesv =vtimest, ttimesw =-,wtimest
Substituindo tudo em
utimesv-utimesw-ttimesv+ttimesw,
obtemos:
wtimest ;-;vtimest ;+;vtimest ;-;wtimest ;=;0

Passo 4

Como
(u-t) times (v-w) = 0,
segue que u-t e v-w são paralelos, isto é, linearmente dependentes.

Resposta

u-t e v-w são LD.

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