Prove que |u times v|^2+(u cdot v)^2=|u|^2|v|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores u,vinR^3, vale
|utimesv|^2 + (ucdot v)^2 ;=; |u|^2,|v|^2
O conteúdo usado será a interpretação geométrica do produto escalar e da magnitude do produto vetorial em função do ângulo theta entre u e v.

Passo 2

Seja theta o ângulo orientado entre u e v. Pelas definições geométricas, temos
ucdotv ;=; |u|,|v|,costheta,
|utimesv| ;=; |u|,|v|,sintheta

Passo 3

Elevando ao quadrado e somando, obtemos
(ucdotv)^2 + |utimesv|^2 = l(|u|,|v|,costhetar)^2 + l(|u|,|v|,sinthetar)^2
= |u|^2,|v|^2,l(cos^2theta + sin^2thetar) = |u|^2,|v|^2,cdot 1 = |u|^2,|v|^2

Resposta

Portanto, ficou demonstrado que
|utimesv|^2 + (ucdot v)^2 = |u|^2,|v|^2

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