Sejam a e b constantes positivas. Considere duas situações diferentes em que uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0.
Encontre v(x) se F(x)=a+b x^{3}.
\begin{aligned} & m v \frac{d v}{d x}=a+b x^{3} \\\ & \int_{0}^{v} v d v=\int_{0}^{x}\left(\frac{a}{m}+\frac{b x^{3}}{m}\right) d x \\\ & \frac{v^{2}}{2}=\frac{a x}{m}+\frac{b}{4 m} x^{4} \end{aligned}
v=\sqrt{2\left[\frac{a x}{m}+\frac{b}{4 m} x^{4}\right]}

Passo 1

O enunciado diz que temos uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0 sob a ação de uma força dependente da posição
F(x)=a + b\,x^{3},
sendo a e b constantes positivas. Queremos encontrar a velocidade v em função de x. Para isso, usaremos a relação entre força e aceleração na forma
m\,a = F(x),
e a escreveremos em termos de v e x.

Passo 2

Recordando que a aceleração a pode ser escrita como
a = \frac{dv}{dt}
e que
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx},
a equação de Newton m\,a = F(x) fica
m\,v\,\frac{dv}{dx} = a + b\,x^{3}.

Passo 3

Agora separamos variáveis para integrar. Escrevemos
m\,v\,dv = \bigl(a + b\,x^{3}\bigr)\,dx
e integramos ambos os lados, levando em conta que a partícula parte do repouso em x=0 (ou seja, v=0 quando x=0):
\int_{0}^{v} m\,v\,dv = \int_{0}^{x} \bigl(a + b\,\xi^{3}\bigr)\,d\xi.

Passo 4

Calculando cada integral:
no lado esquerdo,
\int_{0}^{v} m\,v\,dv = m \,\frac{v^{2}}{2},
e no lado direito,
\int_{0}^{x} \bigl(a + b\,\xi^{3}\bigr)\,d\xi = \int_{0}^{x} a\,d\xi + \int_{0}^{x} b\,\xi^{3}\,d\xi = a\,x + b\,\frac{x^{4}}{4}.
Logo, temos
m\,\frac{v^{2}}{2} = a\,x + \frac{b\,x^{4}}{4}.

Passo 5

Isolando v, obtemos
v^{2} = \frac{2}{m}\,\Bigl(a\,x + \tfrac{b\,x^{4}}{4}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad v(x) = \sqrt{\frac{2}{m}\,\Bigl(a\,x + \tfrac{b\,x^{4}}{4}\Bigr)}.

Resposta

v(x) = \sqrt{2\left(\frac{a\,x}{m} + \frac{b\,x^{4}}{4\,m}\right)}.

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