Se u=(3,-1,-2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine:
(2 u) \times v

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(3,-1,-2)\,,\;v=(2,4,-1)\,,\;w=(-1,0,1)\, e pede para determinar o produto vetorial (2u)\times v.
Informações relevantes: os componentes de u e v estão dadas explicitamente; a operação a realizar é um produto vetorial (cross product) entre o vetor 2u (isto é, u multiplicado por escalar 2) e o vetor v.

Passo 2

O que é e como calcular o produto vetorial (no bom e velho passo a passo):
Se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então o produto vetorial a\times b é o vetor cujos componentes são dados por:
a\times b = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Explicando cada termo: o primeiro componente combina as segundas e terceiras componentes dos vetores (com sinal adequado), o segundo combina a terceira e a primeira, e o terceiro combina a primeira e a segunda. O produto vetorial resulta num vetor perpendicular a a e b, com orientação dada pela regra da mão direita, mas aqui o que importa para a prova é saber calcular os componentes com a fórmula acima.

Passo 3

Primeiro calculemos 2u (multiplicação escalar componente a componente):
2u = 2\,(3,-1,-2) = (6,-2,-4).

Passo 4

Agora aplique a fórmula do produto vetorial com a=2u=(6,-2,-4) e b=v=(2,4,-1).
Calcule cada componente separadamente:
Primeiro componente:
a_2 b_3 - a_3 b_2 = (-2)\cdot(-1) - (-4)\cdot 4 = 2 - (-16) = 18.
Segundo componente:
a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-4)\cdot 2 - 6\cdot(-1) = -8 - (-6) = -8 + 6 = -2.
Terceiro componente:
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 6\cdot 4 - (-2)\cdot 2 = 24 - (-4) = 28.
Portanto, o vetor produto vetorial tem componentes (18,-2,28).

Passo 5

Verificação adicional (propriedade linear do produto vetorial): o produto vetorial é linear no primeiro fator, logo (2u)\times v = 2\,(u\times v). Calculando rapidamente u\times v para conferir:
u\times v = (9,-1,14),
e multiplicando por 2 obtém-se 2(u\times v)=(18,-2,28), que confirma o resultado anterior. Boa prática: quando der tempo, usar essa propriedade para reduzir cálculos.

Resposta

(18,-2,28)

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