Se u=x^2 y^3+z^4, onde x=p+3 p^2, y=p e^p e z=p sin p, use a Regra da Cadeia para encontrar dudp.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dudp para a função u = x^2y^3 + z^4, em que x, y e z dependem de p: x = p + 3p^2, y = pe^p e z = psin p. O conteúdo é a regra da cadeia, precisaremos de derivadas parciais de u e das funções x(p), y(p), z(p).

Passo 2

Derivadas parciais de u(x,y,z) = x^2y^3 + z^4:
partial upartial x = 2x,y^3, partial upartial y = 3x^2,y^2, partial upartial z = 4z^3

Passo 3

Derivadas de x, y e z em relação a p:
dxdp = 1 + 6p, dydp = e^p + p e^p, dzdp = sin p + pcos p

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dudp = partial upartial xdxdp + partial upartial ydydp + partial upartial zdzdp

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as de x,y,z:
dudp = 2x y^3(1+6p) + 3x^2y^2(e^p + p e^p) + 4z^3(sin p + pcos p)
Para expressar só em p, basta usar x = p + 3p^2, y = pe^p e z = psin p.

Resposta

dudp = 2(p+3p^2)(pe^p)^3(1+6p) + 3(p+3p^2)^2(pe^p)^2(e^p+pe^p) + 4(psin p)^3(sin p + pcos p)

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