Se u=x^4 y+y^2 z^3, onde x=r s e^t, y=r s^2 e^-t, z=r^2 s sin t, determine o valor de de quando r =2, s=1, t=0.

Passo 1

A questão dá a função u = x^4y + y^2z^3, onde
x, y e z dependem de r, s, t. Precisamos encontrar a derivada parcial partial u/partial s mantendo r e t fixos. O conteúdo aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, primeiro calculamos as derivadas parciais de u em relação a x, y, z:
partial upartial x = 4x^3y,
partial upartial y = x^4 + 2yz^3,
partial upartial z = 3y^2z^2

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas de x, y, z em relação a s, lembrando que r e t são constantes:
partial xpartial s = r e^t,
partial ypartial s = 2rs e^-t,
partial zpartial s = r^2sin t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
partial upartial s = partial upartial xpartial xpartial s + partial upartial ypartial ypartial s + partial upartial zpartial zpartial s
Substituindo as expressões obtidas:
partial upartial s = (4x^3y)(r e^t) + (x^4 + 2yz^3)(2rs e^-t) + (3y^2z^2)(r^2sin t)

Passo 5

Basta avaliar em r=2, s=1, t=0. Primeiro, calculemos as variáveis:
x = 2cdot1cdot e^0 = 2,
y = 2cdot1^2cdot e^0 = 2,
z = 2^2cdot1cdotsin0 = 0
Como e^0=1 e sin0=0, temos:
  • Primeiro termo: 4cdot2^3cdot2cdot(2cdot1) = 128.
  • Segundo termo: (2^4 + 2cdot2cdot0^3)cdot(2cdot2cdot1) = 16cdot4 = 64.
  • Terceiro termo é zero porque sin0=0 ou z=0.
    Somando dá 128 + 64 = 192.

Resposta

192

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