Ubtenha o potencial e o campo elétrico em pontos r externos de uma esfera condutora de raio a, com carga líquida Q , colocada inicialmente em um campo uniforme E 0 paralelo ao eixo z. Obtenha também a densidade superficial de carga no condutor. (18 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico phi(r,theta), o campo elétrico E(r,theta) em pontos externos ( r>a) de uma esfera condutora de raio a, carga líquida Q, imersa num campo uniforme E0=E0,hat z. Também queremos a densidade superficial de carga sigma(theta) na superfície r=a. O conteúdo principal é a expansão em harmônicos esféricos (polinômios de Legendre) com simetria azimutal, impondo as condições de contorno:
  1. phi fica finito em rtoinfty e se comporta como o potencial de campo uniforme -E0rcostheta.
  2. phi é constante em r=a (equipotencial do condutor).
  3. A carga total é Q.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, simetria de revolução em torno do eixo z dá a expansão geral externa
phi(r,theta)=sumell=0^inftyl(Aell,r^-(ell+1)+Bell,r^ellr)Pell(costheta)
Para rtoinfty queremos apenas o termo do campo uniforme phito -E0,rcostheta, isto é, só ell=1 cresce linearmente. Logo todos os Bell=0 para ellneq1, B1=-E0, e todos os ell>1 têm Aell=0. O termo ell=0 deve ficar propto1/r para gerar a carga Q. Assim
phi(r,theta)=A0,1r-E0,rcostheta+A1,costhetar^2

Passo 3

O termo ell=0 está associado ao monopolo de carga Q. Como o fluxo de E=-nablaphi em rtoinfty vale Q/varepsilon0, temos
A0=Q4pivarepsilon0
Então
phi(r,theta)=Q4pivarepsilon0,r-E0,rcostheta + A1,costhetar^2

Passo 4

Em r=a a superfície do condutor é equipotencial. Logo phi(a,theta)=const, o que exige que o coeficiente de costheta em phi(a,theta) seja zero:
-;E0,a+A1a^2=0 Longrightarrow A1=E0,a^3
O valor constante dessa phi(a) fica phi(a)=Q/(4pivarepsilon0,a), mas não precisamos dele além de conferir a consistência.

Passo 5

Substituindo A0 e A1, o potencial externo ( r>= a) é
boxedphi(r,theta) =Q4pivarepsilon0,r -E0,rcostheta +E0,a^3r^2costheta

Passo 6

O campo elétrico é E=-nablaphi. Em coordenadas esféricas obtemos
Er=-partialphipartial r =Q4pivarepsilon0,r^2 +2,E0,a^3r^3costheta +E0costheta,
Etheta=-1rpartialphipartialtheta =E0,a^3r^3sintheta -E0,sintheta

Passo 7

Na superfície r=a, o campo normal externo é Er(a,theta)=3,E0costheta +dfracQ4pivarepsilon0,a^2. A densidade superficial de carga é
boxedsigma(theta) =varepsilon0,Er(a,theta) =3,varepsilon0,E0costheta +Q4pi,a^2

Resposta

phi(r,theta) =Q4pivarepsilon0,r -E0,rcostheta +E0,a^3r^2costheta,
Er =Q4pivarepsilon0,r^2 +E0costhetagl(1+2a^3r^3gr), Etheta =E0sinthetagl(a^3r^3-1gr),
sigma(theta) =3,varepsilon0,E0costheta +Q4pi,a^2

Exercícios relacionados