Ubtenha o potencial e o campo elétrico em pontos
externos de uma esfera condutora de raio a, com carga líquida Q , colocada inicialmente em um campo uniforme E 0 paralelo ao eixo
. Obtenha também a densidade superficial de carga no condutor. (18 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico
, o campo elétrico
em pontos externos (
) de uma esfera condutora de raio
, carga líquida
, imersa num campo uniforme
. Também queremos a densidade superficial de carga
na superfície
. O conteúdo principal é a expansão em harmônicos esféricos (polinômios de Legendre) com simetria azimutal, impondo as condições de contorno:
-
fica finito em e se comporta como o potencial de campo uniforme . -
é constante em (equipotencial do condutor). - A carga total é
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, simetria de revolução em torno do eixo
dá a expansão geral externa
Para
queremos apenas o termo do campo uniforme
, isto é, só
cresce linearmente. Logo todos os
para
,
, e todos os
têm
. O termo
deve ficar
para gerar a carga
. Assim
Passo 3
O termo
está associado ao monopolo de carga
. Como o fluxo de
em
vale
, temos
Então
Passo 4
Em
a superfície do condutor é equipotencial. Logo
, o que exige que o coeficiente de
em
seja zero:
O valor constante dessa
fica
, mas não precisamos dele além de conferir a consistência.
Passo 5
Substituindo
e
, o potencial externo (
) é
Passo 6
O campo elétrico é
. Em coordenadas esféricas obtemos
Passo 7
Na superfície
, o campo normal externo é
. A densidade superficial de carga é