(UECE-2025( 1^{\underline{\text { a }}} fase)) Uma progressão geométrica é formada por seis termos os quais são números reais positivos. Se a soma dos termos de ordem par é igual a 21 e a soma dos termos de ordem ímpar é 10,5 , é correto afirmar que o segundo termo desta progressão é igual a
(a) 0,5
(b) 1,0
(c) 1,5
(d) 2,0
Passo 1
O enunciado dá uma progressão geométrica com seis termos, todos números reais e positivos. Os dados são:
A soma dos termos de ordem par (ou seja, 2., 4. e 6. termos) vale 21.
A soma dos termos de ordem ímpar (ou seja, 1., 3. e 5. termos) vale 10,5.
O que se pede:
Determinar o valor do segundo termo da progressão.
Passo 2
Vamos nomear os elementos da progressão geométrica (PG). Em qualquer PG, o primeiro termo é chamado de a e a razão é chamada de r. Assim os seis termos são, nesta ordem:
a,\; ar,\; ar^{2},\; ar^{3},\; ar^{4},\; ar^{5}.
Explicando devagar: a é o primeiro número da sequência; multiplicando a por r obtemos o segundo termo, multiplicando novamente por r obtemos o terceiro, e assim por diante. Como o problema diz que todos os termos são positivos, temos a>0 e r>0 (se r fosse negativo os sinais alternariam e alguns termos seriam negativos).
Passo 3
Escrevendo a soma dos termos ímpares (1., 3. e 5.) e a soma dos termos pares (2., 4. e 6.) em função de a e r:
Aqui usei fatoração: em cada soma aparece o fator comum 1 + r^{2} + r^{4}, que foi colocado em evidência para simplificar.
Passo 4
Observação útil (e muito prática na prova): como as duas somas compartilham o mesmo fator \bigl(1 + r^{2} + r^{4}\bigr), ao dividir a soma dos pares pela soma dos ímpares ele cancela e sobra simplesmente r. Ou seja,
Agora que sabemos r, voltamos à equação da soma dos termos ímpares para achar a. Primeiro calculamos o fator
1+r^{2}+r^{4}=1+2^{2}+2^{4}=1+4+16=21.
Substituindo na soma dos ímpares:
a\cdot 21 = 10,5.
Logo
a=\frac{10,5}{21}=0,5.
Explicando a divisão: metade de 21 é 10,5, então 10,5/21=0,5.
Passo 6
O segundo termo da progressão é ar. Substituindo a=0,5 e r=2,
ar = 0,5\times 2 = 1,0.
Portanto o segundo termo vale 1,0.
Passo 7
Comentário curto para fixar a ideia (útil pra prova): em qualquer PG com número par de termos, as somas das posições pares e ímpares têm a relação simples mostrada acima — dividir as somas dá a razão r sempre que o mesmo fator apareça nas duas expressões (aqui apareceu 1+r^{2}+r^{4}). Isso é um truque rápido que salva tempo.