(FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão.
(a) 3
(b) 5
(c) 7
(d) 9

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica (PG) de quatro termos positivos e pede a razão dessa PG. As informações fornecidas são:
  • A PG tem quatro termos positivos.
  • A soma dos dois primeiros termos vale 1.
  • A soma dos dois últimos termos vale 9.
O que se pede: calcular a razão da PG (ou seja, encontrar o valor de r, a razão).

Passo 2

Vamos representar os termos da PG com variáveis padrão. Em uma PG, se o primeiro termo é a e a razão é r, os quatro termos são:
a,\quad ar,\quad ar^2,\quad ar^3.
Aqui a>0 e, pelo enunciado, todos os termos são positivos. Portanto r deve ser tal que todos esses produtos sejam positivos.
Agora traduzimos as informações do enunciado em equações:
  • Soma dos dois primeiros: a + ar = a(1+r) = 1.
  • Soma dos dois últimos: ar^2 + ar^3 = ar^2(1+r) = 9.

Passo 3

Da primeira equação isolamos a. Como 1+r não é zero (e, de fato, é positivo quando r for escolhido compatível com termos positivos), temos:
a = \frac{1}{1+r}.
Explanação: isolar significa dividir ambos os lados por 1+r; isso é permitido porque 1+r\neq0.

Passo 4

Substituímos a expressão de a obtida no passo anterior na equação da soma dos dois últimos termos:
ar^2(1+r)=9.
Substituindo a=\dfrac{1}{1+r}
\frac{1}{1+r}\cdot r^2(1+r)=9.
Observe que o fator (1+r) no numerador e denominador se cancela, ficando
r^2 = 9.

Passo 5

Resolvendo r^2=9 obtemos as raízes
r=3 \quad\text{ou}\quad r=-3.
Mas temos que lembrar que todos os quatro termos da PG são positivos. Se r=-3 os termos alternariam de sinal (por exemplo: a>0, ar<0, …), logo não seriam todos positivos. Portanto descartamos r=-3 e ficamos com
r=3.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): com r=3 temos a=\dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4}. Os quatro termos são \dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{4},\dfrac{27}{4}.
  • Soma dos dois primeiros: \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.
  • Soma dos dois últimos: \dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}=\dfrac{36}{4}=9.
    Tudo confere, então r=3 é a razão correta.

Resposta

(a) 3

Exercícios relacionados