(FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão.
(a) 3
(b) 5
(c) 7
(d) 9
(a) 3
(b) 5
(c) 7
(d) 9
Passo 1
O enunciado dá uma progressão geométrica (PG) de quatro termos positivos e pede a razão dessa PG. As informações fornecidas são:
- A PG tem quatro termos positivos.
- A soma dos dois primeiros termos vale
. - A soma dos dois últimos termos vale
.
O que se pede: calcular a razão da PG (ou seja, encontrar o valor de
, a razão).
Passo 2
Vamos representar os termos da PG com variáveis padrão. Em uma PG, se o primeiro termo é
e a razão é
, os quatro termos são:
Aqui
e, pelo enunciado, todos os termos são positivos. Portanto
deve ser tal que todos esses produtos sejam positivos.
Agora traduzimos as informações do enunciado em equações:
- Soma dos dois primeiros:
. - Soma dos dois últimos:
.
Passo 3
Da primeira equação isolamos
. Como
não é zero (e, de fato, é positivo quando
for escolhido compatível com termos positivos), temos:
Explanação: isolar significa dividir ambos os lados por
; isso é permitido porque
.
Passo 4
Substituímos a expressão de
obtida no passo anterior na equação da soma dos dois últimos termos:
Substituindo
dá
Observe que o fator
no numerador e denominador se cancela, ficando
Passo 5
Resolvendo
obtemos as raízes
Mas temos que lembrar que todos os quatro termos da PG são positivos. Se
os termos alternariam de sinal (por exemplo:
,
, …), logo não seriam todos positivos. Portanto descartamos
e ficamos com
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): com
temos
. Os quatro termos são
.
- Soma dos dois primeiros:
. - Soma dos dois últimos:
.
Tudo confere, entãoé a razão correta.
Resposta
(a) 3