(Ufscar) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é
e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3900 , pode-se afirmar que
, é igual a
(a)
(b)
(c) 1
(d) 5
(e) 25
(a)
(b)
(c) 1
(d) 5
(e) 25
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- É uma progressão geométrica (PG).
- O primeiro termo é
. - A razão é
. - A soma dos quatro primeiros termos é
.
O enunciado pergunta qual é o valor de
entre as opções:
(a) \quad (b)
\quad (c)
\quad (d)
\quad (e)
.
(a)
Passo 2
Fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PG (lição breve e essencial):
Se uma PG tem primeiro termo e razão
com
, a soma dos primeiros
termos é
Se uma PG tem primeiro termo
Explicação rápida de onde vem: escrevendo
e multiplicando por
e subtraindo obtém-se uma progressão telescópica que leva à fórmula acima. Aqui cada símbolo significa:
-
: soma dos primeiros termos, -
: primeiro termo, -
: razão, -
: número de termos.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
,
e
:
Calcule
. Então
Como o enunciado diz que
, tem-se
Passo 4
Resolver para
:
Fazer a divisão:
(porque
), logo
Escrever
como potência de
:
. Como a função exponencial com base
é injetora, conclui-se que
Passo 5
Agora calcular a expressão pedida. Usar propriedade de potências: dividir potências de mesma base subtrai os expoentes, e dividir por
equivale a dividir por
. Assim
Substituindo
:
Resposta
(b)