(Ufscar) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5^{x} e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3900 , pode-se afirmar que 5^{x-2} / 5, é igual a
(a) 1 / 25
(b) 1 / 5
(c) 1
(d) 5
(e) 25

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • É uma progressão geométrica (PG).
  • O primeiro termo é 5^{x}.
  • A razão é 5.
  • A soma dos quatro primeiros termos é 3900.
O enunciado pergunta qual é o valor de \dfrac{5^{x-2}}{5} entre as opções:
(a) 1/25 \quad (b) 1/5 \quad (c) 1 \quad (d) 5 \quad (e) 25.

Passo 2

Fórmula da soma dos primeiros n termos de uma PG (lição breve e essencial):
Se uma PG tem primeiro termo a_1 e razão r com r\neq1, a soma dos primeiros n termos é
S_n = a_1\frac{r^n-1}{r-1}.
Explicação rápida de onde vem: escrevendo S_n=a_1+ a_1 r+\cdots+a_1 r^{n-1} e multiplicando por r e subtraindo obtém-se uma progressão telescópica que leva à fórmula acima. Aqui cada símbolo significa:
  • S_n: soma dos n primeiros termos,
  • a_1: primeiro termo,
  • r: razão,
  • n: número de termos.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a_1=5^{x}, r=5 e n=4:
S_4 = 5^{x}\frac{5^{4}-1}{5-1}.
Calcule 5^{4}=625. Então
S_4 = 5^{x}\frac{625-1}{4} = 5^{x}\frac{624}{4} = 5^{x}\cdot 156.
Como o enunciado diz que S_4=3900, tem-se
5^{x}\cdot 156 = 3900.

Passo 4

Resolver para 5^{x}:
5^{x} = \frac{3900}{156}.
Fazer a divisão: 156\cdot 25 = 3900 (porque 156\cdot 25 = 156\cdot(100/4)=15600/4=3900), logo
5^{x} = 25.
Escrever 25 como potência de 5: 25=5^{2}. Como a função exponencial com base 5>0 é injetora, conclui-se que
x=2.

Passo 5

Agora calcular a expressão pedida. Usar propriedade de potências: dividir potências de mesma base subtrai os expoentes, e dividir por 5 equivale a dividir por 5^{1}. Assim
\frac{5^{x-2}}{5} = 5^{x-2-1} = 5^{x-3}.
Substituindo x=2:
5^{x-3}=5^{2-3}=5^{-1}=\frac{1}{5}.

Resposta

(b) \dfrac{1}{5}

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