(UECE) Considere uma pirâmide regular hexagonal reta cuja medida da altura é 30 m e cuja base está inscrita em uma circunferência cuja medida do raio é igual a 10 m. Desejando-se pintar todas as faces triangulares dessa pirâmide, a medida da área a ser pintada, em m, é
(a) 115 \sqrt{39}
(b) 150 \sqrt{39}
(c) 125 \sqrt{39}

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide regular de base hexagonal inscrita numa circunferência de raio 10 m e com altura 30 m. Pede-se a área total das seis faces laterais triangulares. Vamos usar geometria espacial: calcular o lado do hexágono, a apótema da base, a altura lateral (arestas inclinadas) e então a área lateral.

Passo 2

O lado a do hexágono inscrito em circunferência de raio R=10 m é a corda de 60^\circ:
a = 2R\sin\!\bigl(\tfrac{60^\circ}{2}\bigr) = 2\cdot10\cdot\sin(30^\circ) = 2\cdot10\cdot\tfrac12 =10\text{ m}.

Passo 3

A apótema o da base (distância do centro ao meio de um lado) vale
o = R\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =5\sqrt{3}\text{ m}.

Passo 4

A altura lateral \ell (aresta inclinada) obtém-se no triângulo retângulo formado pela altura h=30 m e pela apótema o:
\ell = \sqrt{h^2 + o^2} = \sqrt{30^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{900 + 75} = \sqrt{975} =5\sqrt{39}\text{ m}.

Passo 5

Cada face triangular tem área
A_{\text{tri}} = \frac{a\cdot\ell}{2} = \frac{10\cdot5\sqrt{39}}{2} =25\sqrt{39}\text{ m}^2.
Como são 6 faces, a área lateral total é
A_{\text{lat}} =6\cdot25\sqrt{39} =150\sqrt{39}\text{ m}^2.

Resposta

(b) 150 \sqrt{39}

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