(Uem 2020) A velocidade v em função do tempo t de um objeto durante uma descida vertical (queda), levando-se em consideração uma força de resistência do ar na forma
, é dada por
, em que:
m : massa do objeto;
g : módulo do campo gravitacional próximo à superfície terrestre (considerado constante);
b : constante positiva;
e : número de Euler
.
Considere
o instante inicial do movimento. Assinale o que for correto.
- No instante
, a velocidade do objeto é igual a zero.
- A razão
tem dimensão de tempo.
- Para valores de
suficientemente grandes, a velocidade
tende para
.
- Para valores de
suficientemente grandes, a força de resistência do ar tende a equilibrar a força peso do objeto.
- O movimento do objeto durante todo o percurso vertical é uniformemente variado.
m : massa do objeto;
g : módulo do campo gravitacional próximo à superfície terrestre (considerado constante);
b : constante positiva;
e : número de Euler
Considere
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade
de um objeto em queda com resistência do ar proporcional à velocidade:
com
massa,
campo gravitacional (constante),
constante de resistência e o instante inicial
.
O que precisa ser verificado é quais das afirmações abaixo são corretas:
O que precisa ser verificado é quais das afirmações abaixo são corretas:
- No instante
, a velocidade do objeto é igual a zero. - A razão
tem dimensão de tempo. - Para
suficientemente grandes, tende para . - Para
suficientemente grandes, a força de resistência do ar tende a equilibrar a força peso do objeto. - O movimento do objeto durante todo o percurso vertical é uniformemente variado.
Passo 2
Verificando a afirmação 01. Substituir
em
:
Portanto, a afirmação 01 é verdadeira. (Interpretando: o enunciado definiu
como início da queda, com velocidade inicial zero.)
Passo 3
Verificando a afirmação 02 (dimensional). A resistência do ar é dada por
. Força tem dimensão
. Velocidade tem dimensão
. Para que
tenha dimensão de força,
deve ter dimensão
Logo
Portanto
tem dimensão de tempo e a afirmação 02 é verdadeira.
Passo 4
Verificando a afirmação 04 (limite para
). Note que
porque a exponencial decai para zero quando o expoente tende a
(
). Assim
Portanto a afirmação 04 é verdadeira. (Esse valor é chamado de velocidade limite ou velocidade terminal.)
Passo 5
Verificando a afirmação 08 (equilíbrio de forças no regime estacionário). A força de resistência do ar tem módulo
. No limite de regime estacionário,
. Então o módulo da resistência tende a
que é exatamente o módulo da força peso. Logo, para grandes
a resistência do ar equilibra o peso e a afirmação 08 é verdadeira.
Passo 6
Verificando a afirmação 16 (movimento uniformemente variado = aceleração constante). Calculamos a aceleração
. Diferenciando
:
A aceleração depende de
(decai exponencialmente de
para
), portanto não é constante. Movimento uniformemente variado exige
constante. Logo a afirmação 16 é falsa.
Passo 7
Resumo das conclusões sobre cada item (justificadas nos passos anteriores):
- 01: verdadeira.
- 02: verdadeira.
- 04: verdadeira.
- 08: verdadeira.
- 16: falsa.
Força um abraço: ótimo trabalho conferindo cada item — agora já sabe reconhecer velocidade terminal, fazer análise dimensional e derivar para achar aceleração. Vai dar certo na prova!
Resposta
01, 02, 04, 08