(Uem 2020) A velocidade v em função do tempo t de um objeto durante uma descida vertical (queda), levando-se em consideração uma força de resistência do ar na forma \vec{F}_{a r}=-b \vec{v}, é dada por v(t)=\frac{m g}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m} t}\right), em que:
m : massa do objeto;
g : módulo do campo gravitacional próximo à superfície terrestre (considerado constante);
b : constante positiva;
e : número de Euler (\mathrm{e}=2,718 \ldots).
Considere t=0 o instante inicial do movimento. Assinale o que for correto.
  1. No instante t=0, a velocidade do objeto é igual a zero.
  2. A razão \frac{m}{b} tem dimensão de tempo.
  3. Para valores de t suficientemente grandes, a velocidade v(t) tende para \frac{m g}{b}.
  4. Para valores de t suficientemente grandes, a força de resistência do ar tende a equilibrar a força peso do objeto.
  5. O movimento do objeto durante todo o percurso vertical é uniformemente variado.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade v(t) de um objeto em queda com resistência do ar proporcional à velocidade:
v(t)=\frac{m g}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right),
com m massa, g campo gravitacional (constante), b>0 constante de resistência e o instante inicial t=0.
O que precisa ser verificado é quais das afirmações abaixo são corretas:
  1. No instante t=0, a velocidade do objeto é igual a zero.
  2. A razão \dfrac{m}{b} tem dimensão de tempo.
  3. Para t suficientemente grandes, v(t) tende para \dfrac{m g}{b}.
  4. Para t suficientemente grandes, a força de resistência do ar tende a equilibrar a força peso do objeto.
  5. O movimento do objeto durante todo o percurso vertical é uniformemente variado.

Passo 2

Verificando a afirmação 01. Substituir t=0 em v(t):
v(0)=\frac{m g}{b}\bigl(1-e^{-\frac{b}{m}\cdot 0}\bigr)=\frac{m g}{b}\bigl(1-e^{0}\bigr)=\frac{m g}{b}(1-1)=0.
Portanto, a afirmação 01 é verdadeira. (Interpretando: o enunciado definiu t=0 como início da queda, com velocidade inicial zero.)

Passo 3

Verificando a afirmação 02 (dimensional). A resistência do ar é dada por \vec{F}_{ar}=-b\vec{v}. Força tem dimensão [F]=M L T^{-2}. Velocidade tem dimensão [v]=L T^{-1}. Para que b v tenha dimensão de força, b deve ter dimensão
[b]=\frac{[F]}{[v]}=\frac{M L T^{-2}}{L T^{-1}}=M T^{-1}.
Logo
\left[\frac{m}{b}\right]=\frac{M}{M T^{-1}}=T.
Portanto \dfrac{m}{b} tem dimensão de tempo e a afirmação 02 é verdadeira.

Passo 4

Verificando a afirmação 04 (limite para t\to\infty). Note que \displaystyle \lim_{t\to\infty}e^{-\frac{b}{m}t}=0 porque a exponencial decai para zero quando o expoente tende a -\infty ( b/m>0). Assim
\lim_{t\to\infty}v(t)=\frac{m g}{b}\bigl(1-0\bigr)=\frac{m g}{b}.
Portanto a afirmação 04 é verdadeira. (Esse valor é chamado de velocidade limite ou velocidade terminal.)

Passo 5

Verificando a afirmação 08 (equilíbrio de forças no regime estacionário). A força de resistência do ar tem módulo F_{ar}=b\,v(t). No limite de regime estacionário, v\to v_{\text{term}}=\dfrac{m g}{b}. Então o módulo da resistência tende a
F_{ar}\to b\cdot\frac{m g}{b}=m g,
que é exatamente o módulo da força peso. Logo, para grandes t a resistência do ar equilibra o peso e a afirmação 08 é verdadeira.

Passo 6

Verificando a afirmação 16 (movimento uniformemente variado = aceleração constante). Calculamos a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Diferenciando v(t):
a(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{m g}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)\right] =\frac{m g}{b}\cdot\left(0 - \left(-\frac{b}{m}\right)e^{-\frac{b}{m}t}\right) = g\,e^{-\frac{b}{m}t}.
A aceleração depende de t (decai exponencialmente de g para 0), portanto não é constante. Movimento uniformemente variado exige a(t)= constante. Logo a afirmação 16 é falsa.

Passo 7

Resumo das conclusões sobre cada item (justificadas nos passos anteriores):
  • 01: verdadeira.
  • 02: verdadeira.
  • 04: verdadeira.
  • 08: verdadeira.
  • 16: falsa.
Força um abraço: ótimo trabalho conferindo cada item — agora já sabe reconhecer velocidade terminal, fazer análise dimensional e derivar para achar aceleração. Vai dar certo na prova!

Resposta

01, 02, 04, 08

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