(Ufjf-pism 1 2020) Um malabarista de circo faz uma pequena bola incandescente girar em uma trajetória circular em um plano vertical. A bola está presa à mão do malabarista por um fio inextensível. Sejam P o módulo da força peso da bola e T o módulo da tração no fio que atuam na bola. Considere três posições diferentes na trajetória: (i) o ponto mais alto da trajetória, (ii) o ponto mais baixo e (iii) um dos pontos à mesma altura do centro do círculo descrito pela bola. Qual é o módulo da força centrípeta
em cada uma dessas posições, respectivamente?
a) (i)
; (ii)
; (iii)
.
b) (i)
; (ii)
; (iii)
.
c) (i)
; (ii)
; (iii)
.
d) (i)
; (ii)
; (iii)
.
e) (i)
; (ii)
; (iii)
.
a) (i)
b) (i)
c) (i)
d) (i)
e) (i)
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte (resumo e o que pede):
- Há uma bola presa por um fio inextensível que descreve uma trajetória circular em um plano vertical.
- Seja
o módulo da força peso da bola (ou seja, , mas o enunciado já fornece o símbolo como módulo do peso). - Seja
o módulo da tração no fio. - Pedem o módulo da força centrípeta
nas três posições: - (i) ponto mais alto da trajetória;
- (ii) ponto mais baixo da trajetória;
- (iii) um ponto cuja altura é a mesma do centro do círculo (ponto lateral).
- O enunciado apresenta cinco alternativas; precisamos achar qual delas corresponde aos valores de
em (i), (ii) e (iii), respectivamente.
Passo 2
Conceito e método que usaremos (explicado passo a passo, como numa mini-aula):
- A força centrípeta é a força resultante (ou a componente da resultante) apontando para o centro da trajetória que causa a aceleração centrípeta. Em módulo essa aceleração é
, e a relação com a massa é
- Na prática, em problemas com fios e gravidade, não precisamos conhecer
, ou para expressar em termos de e . Basta aplicar a 2ª lei de Newton radial: a soma algébrica das projeções das forças na direção radial (tomando como positivo “para o centro”) deve ser igual ao valor da força centrípeta (isto é, a força resultante radial que mantém o movimento circular). - Procedimento prático que uso em prova:
- Escolher a direção radial apontando para o centro como positiva.
- Projetar todas as forças nessa direção (a tração
sempre aponta ao longo do fio, em direção ao centro; o peso é vertical para baixo, então em cada posição pode contribuir para o radial com sinal positivo, negativo ou nulamente). - Somar as contribuições: essa soma é igual ao módulo da força centrípeta
.
- Observação sobre sinais: como usamos apenas módulos
e , cuidar do sinal (somar ou subtrair) dependendo se a componente do peso aponta para o centro (contribui positivamente) ou para fora (contribui negativamente) ou é perpendicular (contribui zero).
Passo 3
Análise no ponto mais alto (posição (i)):
- Geometria das forças: no ponto mais alto, o fio aponta do corpo para o centro do círculo que está abaixo da bola; portanto a tração
tem direção para baixo (isto é, em direção ao centro). O peso também aponta para baixo (sempre para baixo), logo tem componente radial que aponta para o centro. - Projetando na direção radial (para o centro) e somando:
- contribuição da tração:
(pois aponta para o centro); - contribuição do peso:
(pois aponta também para o centro).
- contribuição da tração:
- Logo a soma das forças direcionadas para o centro é
- Intuição curta: os dois vetores apontam para o centro, então se juntam.
Passo 4
Análise no ponto mais baixo (posição (ii)):
- Geometria das forças: no ponto mais baixo, o centro do círculo está acima da bola, portanto a tração
aponta para cima (em direção ao centro). O peso aponta para baixo, ou seja, aponta para fora do centro (contrário à direção radial positiva). - Projetando na direção radial (para o centro) e somando:
- contribuição da tração:
(aponta para o centro); - contribuição do peso:
(aponta contra o centro).
- contribuição da tração:
- Logo a soma das forças direcionadas para o centro é
- Observação de física prática: se
nesse ponto, o fio ficaria frouxo e não haveria movimento circular estável; mas a expressão acima é a relação da resultante radial enquanto o fio estiver tenso.
Passo 5
Análise no ponto lateral à mesma altura do centro (posição (iii)):
- Geometria das forças: nesse ponto o fio é horizontal (a bola está à mesma altura do centro). A tração
aponta horizontalmente para o centro (interna). O peso aponta verticalmente para baixo. - Projetando na direção radial (horizontal, para o centro):
- contribuição da tração:
(aponta para o centro); - contribuição do peso:
(pois é perpendicular à direção radial).
- contribuição da tração:
- Logo a soma das forças direcionadas para o centro é
- Intuição: o peso não “puxa” para dentro ou para fora neste ponto; apenas a tração fornece a força centrípeta.
Passo 6
Resumo dos resultados obtidos para cada posição:
- (i) ponto mais alto:
. - (ii) ponto mais baixo:
. - (iii) ponto lateral (mesma altura do centro):
.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)