(Ufjf-pism 1 2020) Um malabarista de circo faz uma pequena bola incandescente girar em uma trajetória circular em um plano vertical. A bola está presa à mão do malabarista por um fio inextensível. Sejam P o módulo da força peso da bola e T o módulo da tração no fio que atuam na bola. Considere três posições diferentes na trajetória: (i) o ponto mais alto da trajetória, (ii) o ponto mais baixo e (iii) um dos pontos à mesma altura do centro do círculo descrito pela bola. Qual é o módulo da força centrípeta F_{C} em cada uma dessas posições, respectivamente?
a) (i) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}+\mathrm{P}; (ii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}; (iii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}-\mathrm{P}.
b) (i) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}-\mathrm{P}; (ii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}+\mathrm{P}; (iii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}.
c) (i) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}; (ii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}+\mathrm{P}; (iii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}-\mathrm{P}.
d) (i) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}+\mathrm{P}; (ii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}-\mathrm{P}; (iii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}.
e) (i) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}-\mathrm{P}; (ii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}; (iii) \mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\mathrm{T}+\mathrm{P}.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte (resumo e o que pede):
  • Há uma bola presa por um fio inextensível que descreve uma trajetória circular em um plano vertical.
  • Seja P o módulo da força peso da bola (ou seja, P=mg, mas o enunciado já fornece o símbolo P como módulo do peso).
  • Seja T o módulo da tração no fio.
  • Pedem o módulo da força centrípeta F_{C} nas três posições:
    • (i) ponto mais alto da trajetória;
    • (ii) ponto mais baixo da trajetória;
    • (iii) um ponto cuja altura é a mesma do centro do círculo (ponto lateral).
  • O enunciado apresenta cinco alternativas; precisamos achar qual delas corresponde aos valores de F_C em (i), (ii) e (iii), respectivamente.

Passo 2

Conceito e método que usaremos (explicado passo a passo, como numa mini-aula):
  • A força centrípeta é a força resultante (ou a componente da resultante) apontando para o centro da trajetória que causa a aceleração centrípeta. Em módulo essa aceleração é \dfrac{v^{2}}{r}, e a relação com a massa é
F_{C}=m\frac{v^{2}}{r}.
  • Na prática, em problemas com fios e gravidade, não precisamos conhecer m, v ou r para expressar F_{C} em termos de T e P. Basta aplicar a 2ª lei de Newton radial: a soma algébrica das projeções das forças na direção radial (tomando como positivo “para o centro”) deve ser igual ao valor da força centrípeta (isto é, a força resultante radial que mantém o movimento circular).
  • Procedimento prático que uso em prova:
    1. Escolher a direção radial apontando para o centro como positiva.
    2. Projetar todas as forças nessa direção (a tração T sempre aponta ao longo do fio, em direção ao centro; o peso P é vertical para baixo, então em cada posição pode contribuir para o radial com sinal positivo, negativo ou nulamente).
    3. Somar as contribuições: essa soma é igual ao módulo da força centrípeta F_{C}.
  • Observação sobre sinais: como usamos apenas módulos T e P, cuidar do sinal (somar ou subtrair) dependendo se a componente do peso aponta para o centro (contribui positivamente) ou para fora (contribui negativamente) ou é perpendicular (contribui zero).

Passo 3

Análise no ponto mais alto (posição (i)):
  • Geometria das forças: no ponto mais alto, o fio aponta do corpo para o centro do círculo que está abaixo da bola; portanto a tração T tem direção para baixo (isto é, em direção ao centro). O peso P também aponta para baixo (sempre para baixo), logo tem componente radial que aponta para o centro.
  • Projetando na direção radial (para o centro) e somando:
    • contribuição da tração: +T (pois aponta para o centro);
    • contribuição do peso: +P (pois aponta também para o centro).
  • Logo a soma das forças direcionadas para o centro é
F_{C}=T+P.
  • Intuição curta: os dois vetores apontam para o centro, então se juntam.

Passo 4

Análise no ponto mais baixo (posição (ii)):
  • Geometria das forças: no ponto mais baixo, o centro do círculo está acima da bola, portanto a tração T aponta para cima (em direção ao centro). O peso P aponta para baixo, ou seja, aponta para fora do centro (contrário à direção radial positiva).
  • Projetando na direção radial (para o centro) e somando:
    • contribuição da tração: +T (aponta para o centro);
    • contribuição do peso: -P (aponta contra o centro).
  • Logo a soma das forças direcionadas para o centro é
F_{C}=T-P.
  • Observação de física prática: se T<P nesse ponto, o fio ficaria frouxo e não haveria movimento circular estável; mas a expressão acima é a relação da resultante radial enquanto o fio estiver tenso.

Passo 5

Análise no ponto lateral à mesma altura do centro (posição (iii)):
  • Geometria das forças: nesse ponto o fio é horizontal (a bola está à mesma altura do centro). A tração T aponta horizontalmente para o centro (interna). O peso P aponta verticalmente para baixo.
  • Projetando na direção radial (horizontal, para o centro):
    • contribuição da tração: +T (aponta para o centro);
    • contribuição do peso: 0 (pois é perpendicular à direção radial).
  • Logo a soma das forças direcionadas para o centro é
F_{C}=T.
  • Intuição: o peso não “puxa” para dentro ou para fora neste ponto; apenas a tração fornece a força centrípeta.

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos para cada posição:
  • (i) ponto mais alto: \;F_{C}=T+P.
  • (ii) ponto mais baixo: \;F_{C}=T-P.
  • (iii) ponto lateral (mesma altura do centro): \;F_{C}=T.

Resposta

(i) F_{C}=T+P
(ii) F_{C}=T-P
(iii) F_{C}=T

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