(UEPG-Adaptada) Considerando que
e
, sendo
e
pertencente ao
quadrante, assinale o que for incorreto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções trigonométricas: temos $ A = \cos(x) $ e $ B = \tan(x) $. Sabemos que $ \sin(x) = -\frac{1}{5} $ e que o ângulo $ x $ está no terceiro quadrante. Nosso objetivo é verificar se a afirmação $ A + B \in \mathbb{C} $ está correta ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada parte. No terceiro quadrante:
- O seno é negativo ($ \sin(x) < 0 $)
- O cosseno também é negativo ($ \cos(x) < 0 $)
- A tangente é positiva ($ \tan(x) > 0 $)
Como $ A = \cos(x) $ e $ B = \tan(x) $, precisamos calcular esses valores.
Passo 3
Sabemos que $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $. Dado que $ \sin(x) = -\frac{1}{5} $, vamos encontrar $ \cos(x) $:
Como estamos no terceiro quadrante, $ \cos(x) $ é negativo:
Então, $ A = -\frac{2\sqrt{6}}{5} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ B = \tan(x) $. Sabemos que $ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $:
Portanto, $ B = \frac{\sqrt{6}}{12} $.
Passo 5
Agora, somamos $ A $ e $ B $:
Vamos colocar as frações com denominadores iguais:
Passo 6
O resultado $ A + B = -\frac{19\sqrt{6}}{60} $ é um número real, já que é uma combinação de números reais. Portanto, $ A + B $ pertence a $ \mathbb{R} $ e não a $ \mathbb{C} $.
Resposta
A afirmação $ A + B \in \mathbb{C} $ está incorreta.